Les calculs logarithmiques

Simplifier l'expression suivante de manière à obtenir une expression algébrique qui soit seulement en fonction de $\log 2$, $\log 3$, $\log 5$ et de constantes. $$\log 25 + \log 24 + \log \frac{1}{4} - \log 6 + \log 8 + \log 10 + \log 9$$ Étape 1

On remarque que le sixième terme est égal à 1, comme le logarithme de $c$ en base $c$ est égal à $1$. on obtient $$\log 25 + \log 24 + \log \frac{1}{4} - \log 6 + \log 8 + 1 + \log 9$$
Étape 2

À l'aide de la loi du logarithme d'un quotient, on simplifie le troisième terme. $$\log \frac{1}{4} = \log 1 - \log 4$$ Comme $\log 1 = 0$, on obtient pour l'expression complète : $$\log 25 + \log 24 - \log 4 - \log 6 + \log 8 + 1 + \log 9$$
Étape 3

Les nombres $25$, $4$, $8$ et $9$, présents dans les premier, troisième, cinquième et septième termes respectivement peuvent être représentés à l'aide d'une base et d'un exposant. On obtient : $$\log 5^2 + \log 24 - \log 2^2 - \log 6 + \log 2^3 + 1 + \log 3^2$$
Étape 4

À l'aide de la loi du logarithme d'une puissance, on vient placer les exposants à l'avant de chaque terme. $$2\log 5 + \log 24 - 2\log 2 - \log 6 + 3\log 2 + 1 + 2\log 3$$
Étape 5

À l'aide de la loi du logarithme d'un produit, on décompose l'argument du second terme ($24$) et l'argument du quatrième terme ($6$). $$2\log 5 + \log (3\times 2^3) - 2\log 2 - \log (2\times 3) + 3\log 2 + 1 + 2\log 3$$
$$2\log 5 + \log 3 + 3\log 2 - 2\log 2 - \log 2 - \log 3 + 3\log 2 + 1 + 2\log 3$$
Étape 6

On regroupe les termes semblables $$2\log 5 + 2\log 3 + 3\log 2 + 1$$
Ceci est le résultat recherché, mais ce n'est pas le seul résultat possible.

Simplifier l’expression suivante : $3\ln x + 4\ln x - 2\ln x^3$.

Étape 1

On doit utiliser la loi du logarithme d'une puissance et réécrire l’expression. On obtient alors : $$\ln x^3 + \ln x^4 - \ln x^{3\times 2}$$
Étape 2

En lisant de gauche à droite l’expression, on utilise les lois du logarithme d'un produit et d'un quotient. On aura :
$\begin{align} \ln x^3 + \ln x^4 - \ln x^6 & = \ln x^3x^4 - \ln x^6\\ \ & = \ln x^7 - \ln x^6\\ \ & = \ln \frac{x^7}{x^6}\\ \ & = \ln x^1 \\ & = \ln x \end{align}$

Quelle est la valeur de $x$ dans l'équation suivante : $$3\ 245 = 2\ 500 (1{,}056)^{4x}$$
$$\begin{align} \frac{3\ 245}{\color{red}{2\ 500}} &= \frac{2\ 500}{\color{red}{2\ 500}} (1{,}056)^{4x} && \small\text{opération inverse} \\\\ 1{,}298 &\ = 1{,}056^{4x} \\\\ \log_{1{,}056} 1{,}298 &\ = 4x && \small \text{définition du log} \\\\ \frac{\log_{10} 1{,}298}{\log_{10} 1{,}056} &\ = 4x && \small\text{changement de base} \\\\ \frac{4{,}787}{\color{red}{4}} &\approx \frac{4x}{\color{red}{4}} && \small\text{opération inverse} \\\\ 1{,}197 &\approx x \end{align}$$

Quelle est la valeur de $x$ dans l'équation suivante : $$2 \log_4 \ x - \log_4 \ (16x) = \log _4 \ 9 + 1$$
$$\begin{align} 2 \log_4 x - \log_4 (16x) &= \log_4 9 + 1 \\ 2 \log_4 x - (\log_4 16 + \log_4 x) &= \log_4 9 + 1 && \small\text{log d'un produit} \\ 2 \log_4 x - (2 + \log_4 x) &= \log_4 9 + 1 && \small\text{calcul du log} \\ 2 \log_4 x - 2 - \log_4 x &= \log _4 9 + 1 && \small\text{distributivité} \\ \underbrace{2 \log_4 x - \log_4 x} - 2 &= \log_4 9 + 1 && \small\text{termes semblables} \\  \log_4 x -2 \color{red}{+2} &= \log_4 9 +1 \color{red}{+2} && \small\text{opération inverse} \\  \log_4 x \color{red}{- \log_4 9} &= \log_4 9 \color{red}{- \log_4 9} + 3 && \small\text{opération inverse} \\ \log_4 \left(\frac{x}{9}\right) &= 3 && \small\text{log d'un quotient} \\ 4^3 &= \frac{x}{9} && \small\text{définition d'un log} \\  64 \color{red}{\times 9} &= \frac{x}{9} \color{red}{\times 9} && \small\text{opération inverse} \\  576 &= x \end{align}$$