Les lois des logarithmes

Que vaut $\log_8 1$?

Trouver $\log_8 1$ revient à se demander : « Quel exposant faut-il donner à $8$ pour obtenir $1$? » $$\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{8}}\color{#ec0000}{1}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{8}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{1}\\ \color{#3b87cd}{8}^\color{#3a9a38}{0}&=\color{#ec0000}{1}\end{align}$$ Réponse : Comme l’exposant qu’il faut donner à $8$ pour obtenir $1$ est $0,$ on en conclut que $\log_8 1=0.$

Que vaut $\log_{12} 12$?

Trouver $\log_{12} 12$ revient à se demander : « Quel exposant faut-il donner à $12$ pour obtenir $12$? » $$\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{12}}\color{#ec0000}{12}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{12}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{12}\\ \color{#3b87cd}{12}^\color{#3a9a38}{1}&=\color{#ec0000}{12}\end{align}$$ Réponse : Comme l’exposant qu’il faut donner à $12$ pour obtenir $12$ est $1,$ on en conclut que $\log_{12} 12=1.$

Que vaut $\log_5 125$?

On sait qu'on peut exprimer le nombre $125$ comme une puissance de $5.$  $$125=5^3$$ Réponse : $$\begin{align}\log_\color{#3b87cd}5 \color{#ec0000}{125}&=\log_\color{#3b87cd}5 \color{#ec0000}{5^3}\\&=\color{#3a9a38}3\end{align}$$

Exemple 1

Que vaut $\log_{12} 4+\log_{12} 36$?

En appliquant la loi du logarithme d’un produit, on obtient l’égalité suivante. $$\begin{align}\log_{12}4+\log_{12}36&=\log_{12} (4 \times 36) \\&= \log_{12} (144) \end{align}$$ On se demande ensuite : « Quel exposant doit-on donner à $12$ pour obtenir $144$? » $$\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{12}}\color{#ec0000}{144}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{12}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{144}\\ \color{#3b87cd}{12}^\color{#3a9a38}{2}&=\color{#ec0000}{144}\end{align}$$ L’exposant qu’il faut donner à $12$ pour obtenir $144$ est $2.$

Réponse : $$\begin{align}\log_{12}4+\log_{12}36&= \log_{12} (144)\\&= 2\end{align}$$

Exemple 2

Décompose l’expression suivante en une somme de logarithmes : $\log_{10} 15.$

On sait que $15=3\times5.$
On utilise la loi du logarithme d’un produit pour décomposer l’expression.

Réponse : $$\begin{align}\log_{10}15&=\log_{10}(3\times5)\\&=\log_{10}3+\log_{10}5\end{align}$$
Remarque : La décomposition est pratique pour simplifier des expressions lorsqu’on fait des calculs logarithmiques.

Exemple 1

Que vaut $\log_2 320-\log_2 5$?

En appliquant la loi du logarithme d’un quotient, on obtient l’égalité suivante. $$\begin{align} \log_2 320-\log_2 5&=\log_2 \left(\dfrac{320}{5}\right)\\&=\log_2 64\end{align}$$ On se demande ensuite : « Quel exposant doit-on donner à $2$ pour obtenir $64$? » $$\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{2}}\color{#ec0000}{64}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{2}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{64}\\ \color{#3b87cd}{2}^\color{#3a9a38}{6}&=\color{#ec0000}{64}\end{align}$$ L’exposant qu’il faut donner à $2$ pour obtenir $64$ est $6.$

Réponse : $$\begin{align}\log_2 320-\log_2 5&=\log_2 64\\&=6\end{align}$$

Exemple 2

Que vaut $\log_4 \left(\dfrac{1}{16}\right)$?

En appliquant la loi du logarithme d’un quotient, on obtient l’égalité suivante. $$\log_4\left({\dfrac{1}{16}}\right)=\log_4 1-\log_4 16$$ On cherche donc à savoir quels exposants donner à $4$ pour obtenir $1$ et $16$ respectivement.

Les exposants qu’on doit donner à $4$ pour obtenir $1$ et $16$ sont respectivement $0$ et $2.$

Réponse : $$\begin{align}\log_4\left(\dfrac{1}{16}\right)&=\log_4 1-\log_4 16\\&=0-2\\&=-2\end{align}$$

Plusieurs méthodes sont possibles pour résoudre un même problème. Par exemple, on aurait pu résoudre le problème précédent en utilisant le logarithme dont l’argument est égal à la base affectée d’un exposant. $$\begin{align}\log_4\left(\dfrac{1}{16}\right)&=\log_4\left(\dfrac{1}{4^2}\right)\\ &=\log_4\left(4^{-2}\right)\\&=-2\end{align}$$

Exemple 1

Que vaut $\log_7 49^2$?

On utilise la loi du logarithme d’une puissance pour écrire différemment cette expression. $$\log_\color{#3b87cd}{7} \color{#ec0000}{49^2}=\color{#ec0000}2\log_\color{#3b87cd}{7} \color{#ec0000}{49}$$ On cherche donc à savoir quel exposant on doit donner à $7$ pour obtenir $49.$ $$\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{7}}\color{#ec0000}{49}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{7}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{49}\\ \color{#3b87cd}{7}^\color{#3a9a38}{2}&=\color{#ec0000}{49}\end{align}$$ L’exposant qu’on doit donner à $7$ pour obtenir $49$ est $2.$

Réponse : $$\begin{align}\log_7 49^2&=2\log_7 49\\&=2\times2\\&=4\end{align}$$

Exemple 2

Que vaut $2\log_4 8$?

On utilise la loi du logarithme d’une puissance pour écrire différemment cette expression. $$\begin{align} 2\log_\color{#3b87cd}{4} 8&=\log_\color{#3b87cd}{4} \color{#ec0000}{8^2}\\&=\log_\color{#3b87cd}{4} \color{#ec0000}{64}\end{align}$$ On cherche donc à savoir quel exposant on doit donner à $4$ pour obtenir $64.$ $$\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{4}}\color{#ec0000}{64}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{4}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{64}\\ \color{#3b87cd}{4}^\color{#3a9a38}{3}&=\color{#ec0000}{64}\end{align}$$ L’exposant qu’on doit donner à $4$ pour obtenir $64$ est $3.$

Réponse : $$\begin{align}2\log_4 8 &=\log_4 64\\&=3\end{align}$$

Que vaut $\log_{\large\frac{1}{3}} 81$? 

En appliquant la loi du logarithme fractionnaire, on obtient l’égalité suivante. $$\log_\color{#3b87cd}{\large\frac{1}{3}} \color{#ec0000}{81}=-\log_\color{#3b87cd}{3} \color{#ec0000}{81}$$ On se demande ensuite quel exposant on doit donner à $3$ pour obtenir $81.$ $$\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{3}}\color{#ec0000}{81}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{3}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{81}\\ \color{#3b87cd}{3}^\color{#3a9a38}{4}&=\color{#ec0000}{81}\end{align}$$ L’exposant qu’on doit donner à $3$ pour obtenir $81$ est $4.$

Réponse : $$\begin{align}\log_{\large\frac{1}{3}} 81&=-\log_3 81\\&= -4\end{align}$$

Que vaut $\log_{16} 128$?

On remarque que $16$ et $128$ sont des puissances de $2.$ On applique donc un changement de base et on obtient l’égalité suivante. $$\log_\color{#3b87cd}{16} \color{#ec0000}{128}=\dfrac{\log_2 \color{#ec0000}{128}}{\log_2 \color{#3b87cd}{16}}$$ On doit se demander : « Quels exposants faut-il donner à $2$ pour obtenir $128$ et $16$ respectivement? »

Les exposants qu’on doit donner à $2$ pour obtenir $128$ et $16$ sont respectivement $7$ et $4.$

Réponse : $$\begin{align} \log_{16} 128&=\dfrac{\log_2 128}{\log_2 16}\\&=\dfrac{7}{4}\end{align}$$

Malgré le fait qu’on a choisi d’utiliser la base $2$ dans l'exemple précédent, c'est généralement la base $10$ ou la base $e$ qui est choisie. En effet, la majorité des calculatrices sont programmées pour calculer des logarithmes en base $10$ (touche log) ou des logarithmes naturels (touche ln).

À l'aide d'une calculatrice, déterminer la valeur approximative de l'expression $\log_3 5.$

Il faut transformer cette expression afin d'obtenir un logarithme en base $10.$ Pour y arriver, on utilise la loi du changement de base. On obtient ceci. $$\log_\color{#3b87cd}3 \color{#ec0000}5 = \dfrac{\log_{10}\color{#ec0000}5}{\log_{10} \color{#3b87cd}3}$$ On peut calculer cette expression à l'aide d'une calculatrice. On a donc le calcul suivant. $$\begin{align}\log_\color{#3b87cd}3 \color{#ec0000}5&=\dfrac{\log_{10}\color{#ec0000}5}{\log_{10} \color{#3b87cd}3}\\&\approx \color{#3a9a38}{1{,}46}\end{align}$$

Remarque : On aurait aussi pu utiliser le logarithme naturel. $$\begin{align}\log_\color{#3b87cd}3 \color{#ec0000}5&= \dfrac{\ln\color{#ec0000}5}{\ln\color{#3b87cd}3}\\&\approx\color{#3a9a38}{1{,}46}\end{align}$$