Les logarithmes

Un logarithme est un exposant dont il faut affecter un autre nombre appelé base du logarithme pour obtenir un nombre donné (argument).

On se pose la question «quel exposant faut-il attribuer à la base $c$ pour obtenir le nombre $m$?». C'est ce à quoi correspond le logarithme.

Remarques  : Il faut maitriser le vocabulaire lorsqu'on est sous la forme exponentielle ou la forme logarithmique.

À certaines occasions, on appelle l'argument du logarithme : la puissance.

Il existe plusieurs bases. Voici les deux plus fréquentes bases utilisées :

• Par convention, lorsque la base du logarithme est 10, on ne l'écrit pas : $\log_{10}m=\log m.$

• On utilise très fréquemment ce qu'on appelle le logarithme naturel qui est en fait un logarithme dont la base est le nombre $e=2{,}718\,281\,828\dots$ Ce nombre est ce qu'on appelle un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il a un développement infini et non périodique.
  Lorsque la base du logarithme est $e,$ on écrit $\ln$ plutôt que $\log_e.$

Finalement, peu importe la base utilisée, $m \neq 0$ étant donné qu'il n'existe aucune valeur réelle telle que $c^n=0$.

La base $c$ du logarithme doit remplir deux conditions :

1. $c>0$

2. $c \neq 1$

L'argument $m$ du logarithme doit être supérieur à 0.

Exemple 1
$$\begin{alignat}{1} \log_\color{blue}{2}(\color{red}{8}) &\Rightarrow \small\text{Quel}&&\small\color{green}{\text{ exposant}}\small \text{ doit-on donner à la}\color{blue}{\text{ base}}\small \text{ pour obtenir } \color{red}{\text{l'argument}}\small \text{?}\\ &\Rightarrow\quad \color{blue}{2}^\color{green}{?} &&= \color{red}{8}\\ &\Rightarrow\quad \color{blue}{2}^\color{green}{?} &&= \color{red}{2^3} \\ &\Rightarrow\quad\ \color{green}{?} &&= 3 \end{alignat}$$
Ainsi, la valeur du $\log_\color{blue}{2}(\color{red}{8})=\color{green}{3}.$

Exemple 2
$$\begin{alignat}{1} \log_\color{blue}{3}(\color{red}{243}) &\Rightarrow \small\text{Quel}&&\small\color{green}{\text{ exposant}}\small \text{ doit-on donner à la}\color{blue}{\text{ base}}\small \text{ pour obtenir } \color{red}{\text{l'argument}}\small \text{?}\\ &\Rightarrow\quad \color{blue}{3}^\color{green}{?} &&= \color{red}{243}\\ &\Rightarrow\quad \color{blue}{3}^\color{green}{?} &&= \color{red}{3^5} \\ &\Rightarrow\quad\ \color{green}{?} &&= 5 \end{alignat}$$
Ainsi, la valeur du $\log_\color{blue}{3}(\color{red}{243})=\color{green}{5}.$

Exemple 3
$$\begin{alignat}{1} \log_\color{blue}{\frac{1}{4}}(\color{red}{64}) &\Rightarrow \small\text{Quel}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\small\color{green}{\text{ exposant}}\small \text{ doit-on donner à la}\color{blue}{\text{ base}}\small \text{ pour obtenir } \color{red}{\text{l'argument}}\small \text{?}\\ &\Rightarrow\quad \color{blue}{\left(\dfrac{1}{4}\right)}^{\!\color{green}{?}} &&= \color{red}{64}\\ &\Rightarrow\quad \color{blue}{\left(\dfrac{1}{4}\right)}^{\!\color{green}{?}} &&= \color{red}{4^3} \\ &\Rightarrow\quad \color{blue}{\left(\dfrac{1}{4}\right)}^{\!\color{green}{?}} &&= \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!-3} \\ &\Rightarrow\qquad\quad \color{green}{?} &&= -3 \end{alignat}$$
Ainsi, la valeur du $\log_\color{blue}{\frac{1}{4}}(\color{red}{64})=\color{green}{-3}.$