Secondaire 5 • 6m
Je suis bloqué dans la résolution d'un logarithme qui doit donné le nombre d'or. L'équation au départ est
4^x +6^x= 9^x après avoir développé, je suis rendu à
log en base 3/2 de ((2/3)^x +1) = x
Qu'est ce que je devrais faire ensuite?
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Salut!
Le résultat de l'équation \(4^x +6^x= 9^x\) n'est pas le nombre d'or! Voici le nombre d'or :
Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.
Et voici comment résoudre cette équation :
$$ 4^x +6^x= 9^x $$
Nous allons commencer par diviser chaque côté de l'équation par \(4^x\):
$$ \frac{4^x}{4^x} +\frac{6^x}{4^x}= \frac{9^{x}}{4^x} $$
$$ 1 +\frac{6^x}{4^x}= \frac{9^{x}}{4^x} $$
À l'aide de cette loi des exposants :
Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.
Nous allons affecter les exposants x sur la fraction complète :
$$ 1 +(\frac{6}{4})^x= (\frac{9}{4})^x $$
On réduit la fraction 6/4 en une fraction irréductible :
$$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{9}{4})^x $$
Puisque 9=3² et 4=2², nous pouvons écrire :
$$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{3^2}{2^2})^x $$
$$ 1 +(\frac{3}{2})^x= (\frac{3}{2})^{2x} $$
On déplace tous les termes du même côté de l'équation :
$$ 0= (\frac{3}{2})^{2x} -(\frac{3}{2})^x-1$$
On a alors une équation de second degré! Pour mieux le voir, posons la variable \(u=(\frac{3}{2})^x\) :
$$ 0= u^{2} -u-1$$
On peut utiliser la formule quadratique pour résoudre cette équation. Je te laisse le faire. Le résultat sera alors :
$$ u = \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$
On peut remettre la valeur de u dans l'équation :
$$ (\frac{3}{2})^x= \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$
Finalement, on utilise la définition d'un logarithme pour isoler x dans cette équation.
Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.
Ce qui nous donne :
$$ (\frac{3}{2})^x= \frac{1±\sqrt{5}}{2}$$
$$ x= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1±\sqrt{5}}{2})$$
On divise l'équation en deux :
$$ x_{1}= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$$
$$ x_{1}=log_{\frac{3}{2}}(nombre ~d'or)$$
$$ x_{1}≈ 1,18681$$
et
$$ x_{2}= log_{\frac{3}{2}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})$$
$$ x_{2}≈ log_{\frac{3}{2}}(-0,618)$$
On s'arrête, puisque le logarithme d'un nombre négatif est indéfini!
Le résultat est donc x ≈ 1,18681
J'espère que c'est plus clair pour toi! :)
Suggestions en lien avec la question
Suggestion en lien avec la question
Voici ce qui a été trouvé automatiquement sur le site, en espérant que ça t’aide!