Secondaire 5 • 3a
Bonjour,
Je ne comprends pas comment faire pour trouver l'equationde cette ellipse. J'ai demandeé cette question mais je n'ai pas trop compris.
Merci!
Bonjour,
Je ne comprends pas comment faire pour trouver l'equationde cette ellipse. J'ai demandeé cette question mais je n'ai pas trop compris.
Merci!
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Salut!
Tout d'abord, en observant le graphique et les coordonnées des deux foyers, nous pouvons constater qu'il s'agit d'une ellipse centrée à l'origine.
Ainsi, l'équation d'une ellipse de base centrée à l'origine est
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 $$
puisque h=0 et k=0
Nous pouvons aussi constater qu'il s'agit d'une ellipse horizontale, donc nous savons que a > b.
À l'aide des coordonnées des foyers, on peut déterminer c, la distance entre le centre et le foyer. On obtient donc c = 10
Ainsi, la formule :
$$ c² = a² - b² $$
devient :
$$ 10² = a² - b² $$
Appelons cette équation l'équation A
Aucun sommet n'est fourni, nous avons plutôt les coordonnées d'un point sur l'ellipse. Donc, nous pouvons intégrer ce point à l'équation de base d'une ellipse, ce qui nous donne :
$$ \frac{8,7^2}{a^2} + \frac{8,4^2}{b^2} =1 $$
Appelons cette équation l'équation B
Maintenant, puisque nous cherchons 2 inconnus, a et b, et que nous avons 2 équations, nous pouvons combiner ces équations afin de trouver les inconnus. Ainsi, après avoir isolé la variable a dans l'équation A, on obtient :
$$ 10^2 + b^2 = a^2 $$
Il faut maintenant insérer cette nouvelle équation A dans l'équation B. Pour faire cela, nous allons remplacer la variable a² dans l'équation B par ce que nous avons obtenu comme valeur de a² dans l'équation A, soit 10² + b², comme ceci :
$$ \frac{8,7^2}{10^2 + b^2} + \frac{8,4^2}{b^2} = 1 $$
Nous obtenons ainsi une équation ayant une seule inconnue. En isolant la variable b, nous obtenons b=-10,5 et b=10,5, ce qui est tout à fait normal, puisqu'il y a une réflexion de l'axe des ordonnées. Puisque nous cherchons une mesure, nous allons garder la valeur positive.
Maintenant, nous pouvons trouver a en insérant la valeur trouvée de b, 10,5 , dans une des deux équations et en isolant a par la suite, comme ceci :
$$ 10^2 = a^2 - 10,5^2 $$
$$ a = 14,5 $$
Ici, j'ai utilisé l'équation A, mais nous aurions aussi pu utiliser l'équation B et nous aurions obtenu le même résultat.
Tu peux constater que a est effectivement plus grand que b, nous sommes donc sur la bonne voie.
En insérant les variables trouvées, soit h=0, k=0, a=14,5 et b=10,5 l'équation de l'ellipse est donc :
$$ \frac{x^2}{14,5^2} + \frac{y^2}{10,5^2} =1 $$
Voilà! N'hésite pas si tu as d'autres questions :)
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