Postsecondaire • 1a
Bonjour jai de la difficulte a trouver la vitesse finale lorsque le projectile atteint sa hauteur maximale dans le mouvement sur y=0 parabole de projectile. Si on nous donne juste langle de 20 degres lancee du sol et une distance maximale xf=8,5m. ils nous demandent:
a) déterminer la vitesse à laquelle il quitte le sol,
la reponse marirve a 14,9m/s mais je ne pense quelle est bonne car jai fait un calcul degalite de vecteur vitesse selon x et y, jai isole les vitesse pour mettre en egalite les 2 temps. pourriez maider a me donner les etapes. merci
b) la hauteur maximale atteinte.
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Merci pour ta question!
Je te suggère de formuler deux équations qui expriment le déplacement horizontal et vertical. D'abord, le déplacement horizontal est assuré par un MRU :
$$ x_t = x_i+v_i•t $$
Légende :
• xt : position horizontale à l’instant t (m)
• xi : position horizontale initiale (m)
• vi : vitesse horizontale initiale (m/s)
• t : temps (s)
On insère la distance maximale parcourue dans l'équation ainsi que la vitesse horizontale (exprimée sous forme de composante de la vitesse de lancée) :
$$ 8,5 = 0+vcos(20°)t $$
Puis, le déplacement vertical est assuré par un MRUA :
$$ y_t = y_i+v_i•t+\frac{1}{2}•a•t^2 $$
Légende :
• yt : position verticale à l’instant t (m)
• yi : position verticale initiale (m)
• vi : vitesse verticale initiale (m/s)
• t : temps (s)
• a : accélération (m/s^2)
On peut décomposer ce MRUA en deux phases : la phase de montée et la phase de descente, chacune d'une durée égale (=t/2). Pour la phase de montée :
$$ y_{max} = 0+vsin(20)\frac{t}{2} + \frac{1}{2}(-9,81)(\frac{t}{2})^2 $$
Pour la phase de descente :
$$ 0 = y_{max}+0+\frac{1}{2}(-9,81)(\frac{t}{2})^2 $$
On constate alors qu'il y a trois équations et trois inconnus en tout. Ainsi, exprimons y_max (la hauteur maximale atteinte) en fonction de t (le temps) :
$$ y_{max}=\frac{1}{2}(9,81)(\frac{t}{2})^2 $$
On peut remplacer le terme y_max dans l'expression de la phase de montée du mouvement vertical :
$$ y_{max} = 0+vsin(20)\frac{t}{2} + \frac{1}{2}(-9,81)(\frac{t}{2})^2 $$
$$ \frac{1}{2}(9,81)(\frac{t}{2})^2 = 0+vsin(20)\frac{t}{2} + \frac{1}{2}(-9,81)(\frac{t}{2})^2 $$
Divisons par t de chaque côté pour simplifier le tout :
$$ \frac{1}{2}(9,81)\frac{t}{2^2} = 0+vsin(20)\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(-9,81)\frac{t}{2^2} $$
Puis, isolons v dans l'équation :
$$ v = \frac{\frac{1}{2}(9,81)\frac{t}{2^2}-\frac{1}{2}(-9,81)\frac{t}{2^2}}{sin(20)/2} $$
En isolant v dans l'expression du mouvement rectiligne uniforme on pourra comparer les deux équations :
$$ 8,5 = 0+vcos(20°)t $$
$$ v = \frac{8,5}{cos(20°)t} $$
Comparons ainsi les deux équations :
$$ \frac{\frac{1}{2}(9,81)\frac{t}{2^2}-\frac{1}{2}(-9,81)\frac{t}{2^2}}{sin(20°)/2} = \frac{8,5}{cos(20°)t} $$
On peut simplifier le tout :
$$ 2(\frac{9,81\frac{t}{4}}{sin(20°)})=\frac{8,5}{cos(20°)t} $$
Il ne te restera qu'à isoler t, puis de l'utiliser pour calculer v et y_max grâce aux autres équations!
Cette fiche du site d'Alloprof explique les MRU et MRUA :
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