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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 5 • 3a

Bonsoir.

Je dois prouver cette identité, mais je ne suis pas capable. $$cos^2x + tan^2x - 1 = tan^2xsin^2x $$

Pouvez-vous m'aider? Merci.

Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication d'Alloprof

    Explication d'Alloprof

    Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.

    Options
    Équipe Alloprof • 3a 30 May modifié

    Salut YakEfficace4227, merci pour ta question! 😁


    Avant de commencer, je te rappelle les différents chemins possibles pour faire cette démonstration.

    Capture d’écran, le 2021-03-25 à 20.06.31.png


    Pour commencer, il faut changer 1 en

    $$ sin^2x + cos^2x.$$

    On va, ensuite, avoir

    $$ cos^2x + tan^2x - ( sin^2x + cos^2x) = tan^2xsin^2x.$$


    Si on distribue le « - » dans la parenthèse, on obtient cela:

    $$cos^2x + tan^2x - sin^2x - cos^2x = tan^2xsin^2x.$$

    On peut alors simplifier les deux $$ cos^2x$$ pour avoir ceci: $$ tan^2x - sin^2x = tan^2xsin^2x.$$

    On peut transformer$$ tan^2x$$ en $$ \frac{sin^2x}{cos^2x},$$

    ce qui nous donne $$ \frac{sin^2x}{cos^2x} - sin^2x = tan^2xsin^2x.$$


    On peut tout mettre sur un dénominateur commun, ce qui donne ceci:

    $$\frac{sin^2x + sin^2xcos^2x}{cos^2x} = tan^2xsin^2x.$$

    On peut alors mettre $$sin^2x$$ en évidence. On obtient donc

    $$\frac{sin^2x(1 + cos^2x)}{cos^2x} =tan^2xsin^2x.$$


    On peut alors remplacer $$ \frac{sin^2x}{cos^2x}$$ par $$tan^2x$$ et $$(1 - cos^2x)$$ par $$sin^2x,$$ ce qui nous donne finalement $$tanx^2sin^2x = tan^2xsin^2x.$$


    Voilà pour la démonstration. Je te laisse le lien pour voir la page du site concernant ces notions!


    N'hésite pas si tu as d'autres questions 😊

    Thomas T

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