Secondaire 5 • 3a
J'ai un problème à résoudre cela.
J'ai un problème à résoudre cela.
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Bonjour,
Tu as bien commencé ta résolution. En effet, tu as vu qu'il fallait essayer de mettre le maximum de termes en base 2.
Toutefois, à partir de la deuxième ligne tu as commis quelques erreurs.
Tout d'abord, tu as bien vu que 6^x pouvait s'écrire (2·3)^x. Or, dans la deuxième ligne tu as changé l'exposant x pour x-x, ce qu'on ne peut pas faire. En fait, il faut simplement utiliser la propriété des exposants suivante:
$$(a·b)^m=a^m·b^m$$
Ainsi:
$$(2·3)^x=2^x·3^x$$
Pour le côté gauche de ton égalité, tu te retrouves alors avec:
$$2^x·3^x·2^{(x-1)}$$
Tu peux alors réunir les termes ayant une base 2 et utiliser la propriété des exposants suivante:
$$a^m·a^n=a^{(m+n)}$$
Quant au côté droit de ton équation, tu avais bien commencé en transformant ta base 4 en base 2. Il fallait simplement poursuivre de la sorte:
$$2·(2^2)^{(x+2)}=2^1·2^{(2(x+2))}=2^1·2^{(2x+4)}$$
Ensuite, il te suffit d'appliquer la propriété des exposants qu'on vient de voir et d'additionner les exposants d'une même base entre eux:
$$2^1·2^{(2x+4)}=2^{(2x+4+1)}=2^{(2x+5)}$$
Il ne te reste alors plus qu'à diviser les deux côtés de ton équation le terme en base 2 que tu auras trouvé à gauche de ton équation.
Ainsi, tu devrais obtenir l'équation suivante:
$$3^x=\frac{2^{(2x+5)}}{2^{(2x-1)}}$$
Pour diviser les deux termes à droite de ton équation, il te faudra alors utiliser la propriété des exposants suivante:
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{(m-n)}$$
En procédant à ta division, tu verras que tes exposants x disparaîtront et qu'il ne te restera qu'une base 2 affectée d'un nombre.
Il ne te restera alors plus qu'à transformer ton équation sous forme logarithmique:
$$\log_{3}n=x$$
où n correspond au résultat que tu auras trouvé (c'est à toi de trouver la valeur de n).
Enfin, tu pourras procéder à un changement de base en utilisant la loi des logarithmes suivante:
$$\log_{c}m=\frac{\log_{a}m}{\log_{a}c}$$
Dans ton cas:
$$\log_{c}m=\frac{\ln{m}}{\ln{c}}$$
Je te laisse ici deux liens (concernant respectivement les lois des exposants et les lois des logarithmes) qui pourraient t'aider:
À toi de jouer maintenant!
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Voici ce qui a été trouvé automatiquement sur le site, en espérant que ça t’aide!