Zone d’entraide

SourisLambda276

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Je ne comprend pas comment démontrer ça.

Simon

Salut Suzy,

D'abord remarque ceci : à gauche, dans les fonctions trigonométriques, on a \(x\), alors qu'à droite, on a \(2x\). Connais-tu la formule de l'angle double du cosinus ? Sinon, tu peux utiliser la formule de somme d'angles du cosinus pour retrouver la formule de l'angle double :

\[\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\]Tu peux poser \(a = b = x\)\begin{align*}\cos(2x) &= \cos(x + x) \\ \\ &= \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) \\ \\ &= \cos^2(x) - \sin^2(x)\end{align*}

Parfait !

Ensuite, rappelle-toi qu'une des trois identités de base est \[1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)\]

On pourrait procéder comme ceci : \begin{align*}\frac{1-\cot^2(x)}{1 + \cot^2(x)} &= \frac{1-\cot^2(x)}{\csc^2(x)} \\ \\ &= \frac{1}{\csc^2(x)} - \frac{\cot^2(x)}{\csc^2(x)} \\ \\ &= \frac{1}{\frac{1}{\sin^2(x)}} - \frac{\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}}{\frac{1}{\sin^2(x)}} \\ \\ &= \frac{1\cdot \sin^2(x)}{\frac{1}{\sin^2(x)}\cdot \sin^2(x)} - \frac{\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\cdot \sin^2(x)}{\frac{1}{\sin^2(x)}\cdot \sin^2(x)} \\ \\ &= \ \dots \end{align*}

À toi de terminer ! N'hésite pas à nous réécrire si tu as d'autres questions :-)