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DeltaPotassium727

Bonjour, j'arrive pas à résoudre ce problème: un dé régulier de 3 cm d'arête présente des trous cylindriques de 0,5 cm de diamètre et de 0,2 cm d profondeur. Max désire peindre le dé en rouge et les trous en blanc. Quel pourcentage de la surface du dé doit-il peindre en rouge?

Louis-Philippe B

Merci pour ta question!

La première étape consiste à énumérer ce que l'on sait et ce que l'on peut déduire rapidement :

• un dé régulier (donc un cube, avec 6 faces) dont chaque arête (côté) mesure 3 cm

• les trous dans le dé ont un diamètre de 0,5 cm et une profondeur de 0,2 cm

• les trous seront peints en blanc

• les faces du cube seront peintes en rouge

La deuxième étape consiste à trouver ce que l'on cherche : un pourcentage d'une surface.

Ensuite, il faut établir une démarche : pour trouver le pourcentage d'une surface à peindre, il faudra d'abord trouver cette surface. En l'occurrence, on cherche la surface du dé à peindre en rouge (donc, tout sauf les trous, qui seront peints en blanc).

La tâche consiste donc premièrement de trouver la surface du dé peinte en rouge, puis ensuite sa surface totale.

Pour trouver l'aire totale du dé sans tenir compte des trous, on utilise la formule d'aire d'un cube. À la place de la variable c, on devrait trouver la longueur d'une arête (3 cm).

$$A_{totale\:du\:cube} = 6 • c^2$$

Puis, il faut trouver le nombre de trous sur le dé, qui, on présume, comporte une face à 6 points, une à 5 points, une à 4 points, une à 3 points, une à 2 points et une à 1 point. Le nombre total de trous est alors de :

$$nombre_{trous}=6+5+4+3+2+1=21$$

Ensuite, pour trouver la surface qui sera peinte en rouge, il faut soustraire la partie de l'aire qui ne sera pas peinte en rouge sur chaque face du cube. Attention : il ne s'agit pas de soustraire l'aire entière d'un trou, mais seulement celle qui est « enlevée » à chaque face du cube. Bref, il faut trouver l'aire de la partie du trou qui est un disque :

$$A_{partie\:circulaire\:du\:trou} = \pi•r^2=\pi•(\frac{d}{2})^2$$

Puis, il faut soustraire à l'aire totale du cube l'aire de la partie circulaire de chaque trou multiplié par le nombre de trous. Avec ce calcul, on obtient l'aire qui sera peinte en rouge :

$$A_{rouge}=A_{totale\:du\:cube}-A_{partie\:circulaire\:du\:trou}•nombre_{trous}=6•c^2-\pi(\frac{d}{2})^2•21$$

Par la suite, il faut trouver l'aire d'un trou (incluant ses rebords). On pourrait être tenté de prendre la formule d'aire d'un cylindre, mais, attention, il s'agit d'un cylindre qui n'a qu'une seule base circulaire. Ainsi, au lieu de la formule habituelle :

$$A_{cylindre}=2•\pi•r•h + 2•\pi•r^2$$

On a :

$$A_{trou}=2•\pi•(\frac{d}{2})•h + \pi•r^2$$

Pour trouver l'aire totale du dé, il faut considérer l'aire peinte en rouge plus l'aire peinte en blanc (donc l'aire d'un trou multiplié par le nombre de trous) :

$$A_{totale\:dé}=A_{rouge}+A_{trou}•21$$

Finalement, il faut trouver le pourcentage du dé peint en rouge :

$$\%_{rouge}=\frac{A_{rouge}}{A_{totale\:dé}}

Voilà!

N'hésite pas si tu as d'autres questions!