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DiplodocusLogique6802

Bonjour, j'ai un exercice que je ne comprends pas. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Le voici :

« Dans une école, un directeur tente de répartir les étudiants dans des classes. Quand il regroupe les étudiants par classes de 20, il reste 7 étudiants et quand il les regroupe par classes de 21, il reste 11 étudiants. Combien y a-t-il d'étudiants, au minimum, dans cette école ? »

LoutreSolidaire8177

Salut,

Il y a plusieurs façons plus ou moins sophistiquées de résoudre ce problème. Avec les nombres \(20\) et \(21\), on peut cependant y aller d'une solution assez élémentaire.

Quand il regroupe les étudiants par classes de 20, il reste 7 étudiants et quand il les regroupe par classes de 21, il reste 11 étudiants.

Cela veut dire que \[N = 20a + 7\]et \[N = 21b + 11\]pour un certain \(a\) et un certain \(b\). Ça va ?

Puisqu'il s'agit du même nombre \(N\) dans les deux équations, on peut aussi écrire \[20a + 7 = 21b + 11\]ou \[20a = 21b + 4\]Regarde bien ce qui suit : \[20a = 21b + 4\] \[20a = 20b + b + 4\] \[20a - 20b = b + 4\] \[20(a-b) = b + 4\] \[a-b = \frac{b + 4}{20}\]

À gauche, tu as un nombre entier \(a - b\). À droite, tu dois aussi avoir un nombre entier. Cela ne peut être le cas que si \(b\) est \(4\) de moins qu'un multiple de \(20\). Tu vois pourquoi ?

Par exemple, \(b = 20 - 4 = 16\) pourrait mener à une solution. \(b = 40-4 = 36\) pourrait mener à une autre, \(b = 60-4 = 56\) à une autre, etc.

\[N = 21(16) + 11 = 347\]Peux-tu vérifier que si tu divises \(347\) par \(20\), le reste sera \(7\) ? Si oui, est-ce le nombre minimal d'étudiants ?

À toi de jouer !