Zone d’entraide

DiplodocusLogique6802

Bonjour, j'ai un exercice que je ne comprends pas. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Le voici :

« Dans une école, un directeur tente de répartir les étudiants dans des classes. Quand il regroupe les étudiants par classes de 20, il reste 7 étudiants et quand il les regroupe par classes de 21, il reste 11 étudiants. Combien y a-t-il d'étudiants, au minimum, dans cette école ? »

LoutreSolidaire8177

Salut,

Il y a plusieurs façons plus ou moins sophistiquées de résoudre ce problème. Avec les nombres $20$ et $21$, on peut cependant y aller d'une solution assez élémentaire.

Quand il regroupe les étudiants par classes de 20, il reste 7 étudiants et quand il les regroupe par classes de 21, il reste 11 étudiants.

Cela veut dire que $$N=20a+7$$et $$N=21b+11$$pour un certain $a$ et un certain $b$. Ça va ?

Puisqu'il s'agit du même nombre $N$ dans les deux équations, on peut aussi écrire $$20a+7=21b+11$$ou $$20a=21b+4$$Regarde bien ce qui suit : $$20a=21b+4$$ $$20a=20b+b+4$$ $$20a-20b=b+4$$ $$20(a-b)=b+4$$ $$a-b=\frac{b+4}{20}$$

À gauche, tu as un nombre entier $a-b$. À droite, tu dois aussi avoir un nombre entier. Cela ne peut être le cas que si $b$ est $4$ de moins qu'un multiple de $20$. Tu vois pourquoi ?

Par exemple, $b=20-4=16$ pourrait mener à une solution. $b=40-4=36$ pourrait mener à une autre, $b=60-4=56$ à une autre, etc.

$$N=21(16)+11=347$$Peux-tu vérifier que si tu divises $347$ par $20$, le reste sera $7$ ? Si oui, est-ce le nombre minimal d'étudiants ?

À toi de jouer !