Zone d’entraide

PommeLibre9746

Supposons que nous décidions de créer un nouveau système positionnel, semblable au nôtre (un seul symbole par position), mais ayant recours à une base 6 :

a)    Combien de symboles (chiffres) avons-nous besoin pour écrire tous les nombres? Lesquels (parmi les chiffres actuels)?

b)   Représentez à l’aide d’un dessin le nombre 1536 sous la forme d’une quantité regroupée.

c)    Retrouvez la valeur du nombre 20356 et expliquez votre démarche.

d) Si on ajoute 1 unité au nombre 20356, qu’obtient-on? Expliquez.

svp je suis complétement bloqué , j ai aucune idée comment faire et comment commencé et surtout je dois l expliquer aux élèves svp

Katia K

Salut!

Dans la vie de tous les jours, nous utilisons un système décimal, un système à base 10. Les chiffres utilisés sont donc 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Avec ces 10 chiffres, nous sommes en mesure d'écrire une infinité de nombres différents.

Un système à base 6 est appelé un système sénaire. Les chiffres utilisés seront donc les 6 premiers de notre système actuel, soit 0, 1, 2, 3, 4 et 5. Pour écrire n'importe quel chiffre, on utilisera donc ces chiffres uniquement. Les chiffres 6, 7, 8, et 9 n'existent pas dans ce système.

Pour répondre à la question a), nous avons donc besoin de six chiffres (0, 1, 2, 3, 4 et 5) pour écrire tous les nombres.

Pour le b), on te demande de convertir le nombre 1536 qui est en base 10, à son équivalent en base six. Voici un site expliquant comment procéder à cette conversion : https://madformath.com/calculators/basic-math/base-converters/decimal-to-base-6-converter-with-steps/decimal-to-base-6-converter-with-steps

Pour le c) et le d), je pense qu'on te demande de faire l'inverse, soit de convertir 20 356 qui est en base six à son équivalent en base dix (je n'en suis pas sûre, puisqu'on n’a pas précisé la base du nombre de l'énoncé, il faudrait donc vérifier auprès de la personne ayant rédigé l'exercice. Pour l'instant, nous allons continuer comme si c'était ce qui était demandé).

Comme je te l'ai expliqué, le nombre 6 n'existe pas dans un système à base six, seuls les chiffres de 0 à 5 peuvent être employés. Le nombre 20 356 n'existe donc pas en base 6.

Supposons que nous avons plutôt le nombre 20 355 (au lieu de 20 356), voici comment convertir un nombre en base 6 en un nombre en base 10 :

Tout d'abord, rappelons-nous comment fonctionne notre système à base 10 actuel. Prenons le nombre 312 pour exemple. Chaque chiffre est multiplié par 10, puisqu'on est dans un système à base 10, et ce 10 est à la puissance de sa position. En d'autres mots :

$$312_{10} = 3\times10^2 + 1 \times 10^1 + 2 \times10^0$$

(L'indice 10 sert à indiquer qu'on est en base 10.)

La position des unités est la position numéro 0, celle des dizaines, la position numéro 1, les centaines numéro 2, etc.

On multiplie donc chaque chiffre par 10, et cette base 10 est affectée d'un exposant, qui est le numéro de position dudit chiffre.

Autre exemple :

$$1734_{10} = 1\times10^3+7\times10^2 + 3 \times 10^1 + 4\times10^0$$

Maintenant, concentrons-nous sur le système à base 6. On suit le même principe qu'en base 10, mais au lieu de multiplier par 10 à une certaine puissance, on multiplie par 6 à une certaine puissance! Donc :

$$312_{6} = 3\times6^2 + 1 \times 6^1 + 2 \times6^0 $$

(L'indice 6 sert à indiquer qu'on est en base 6.)

Il ne reste plus qu'à calculer cette expression pour convertir 312 en base 6 en un nombre en base 10!

$$312_{6} = 3\times36 + 1 \times 6 + 2 \times1$$

$$312_{6} = 108+ 6+ 2 = $$

$$312_{6}=116_{10}$$

Voilà! Donc 312 en base six est équivalent à 116 en base dix.

Pour convertir le nombre 20 355 qui est en base six à son équivalent en base dix, on suit donc le même principe :

$$20 355_{6} = 2\times6^4 +0\times6^3 + 3\times6^2 + 5 \times 6^1 + 5 \times6^0 = 2735_{10} $$

Voici un convertisseur de nombre d'une base à l'autre, tu peux t'en servir pour t'exercer et corriger tes réponses : https://www.translatorscafe.com/unit-converter/fr-FR/numbers/3-9/decimal-base-6/

Voici une fiche sur cette notion : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-systemes-de-numeration-m1099

Et voici un lien sur le système sénaire en particulier : https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_s%C3%A9naire#:~:text=Un%20syst%C3%A8me%20s%C3%A9naire%20est%20un,un%20indice%2010%20ou%206.

Ceci n'est pas du tout une notion enseignée au primaire, donc si c'est toi qui as choisi ce sujet à enseigner pour ton tutorat, je te recommande fortement de changer de sujet, il te sera difficile de l'enseigner à des enfants du primaire!

J'espère que c'est plus clair pour toi! Si tu as d'autres questions, on est là! :)