Comment on trouve/génére un triplet pythagoricien?
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Explication d'un(e) pro de la Zone d'entraide
Tu peux faire confiance à cette explication, car elle est donnée par une personne identifiée comme étant fiable par Alloprof.
Salut,
Tu peux choisir deux nombres, \(x\) et \(y\). Disons que \(x>y\).
Calcule : \begin{align*}a&=2xy \\ \\ b&=x^{2}-y^{2} \\ \\ c&=x^{2}+y^{2}\end{align*}
Voilà ! Tu as un triplet pythagoricien : \[a^2 + b^2 = c^2\]
Tu peux vérifier que ça fonctionne : \begin{align*}a^2 + b^2 &= (2xy)^2 + (x^2-y^2)^2 \\ \\ &= 4x^2y^2 + x^4 - 2x^2y^2 + y^4 \\ \\ &=x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \\ \\ &= (x^2 + y^2)^2 \\ \\ &=c^2\end{align*}
Si en plus tu choisis \(x\) et \(y\) pour qu'ils soient premier entre eux (ils ne partagent pas de facteur commun) et que soit \(x\) ou soit \(y\) est pair, le triplet obtenu sera primitif (donc \(a\), \(b\) et \(c\) n'auront pas de facteur commun).
Exemple : disons que \(x = 7\) et \(y = 2\). On obtient \[a = 2xy = 2(7)(2) = 28\] \[b = x^2 - y^2 = 7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45\] et \[c = x^2 + y^2 = 7^2 + 2^2 = 49 + 4 = 53\]
C'est vrai que \[28^2 + 45^2 = 53^2\] Tu peux vérifier avec une calculatrice au besoin !
Au plaisir !
Explication vérifiée par Alloprof
Cette explication a été vérifiée par un membre de l’équipe d’Alloprof.
Bonjour Dauphin Autonome
Merci de ta question !
Je te réfère à cette fiche dont la même question a été répondu auparavant :)
N'hésite pas si tu as d'autres questions !
VC
Voici ce qui a été trouvé automatiquement sur le site, en espérant que ça t’aide!
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Voilà ! Tu as un triplet pythagoricien : \[a^2 + b^2 = c^2\]
Tu peux vérifier que ça fonctionne : \begin{align*}a^2 + b^2 &= (2xy)^2 + (x^2-y^2)^2 \\ \\ &= 4x^2y^2 + x^4 - 2x^2y^2 + y^4 \\ \\ &=x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \\ \\ &= (x^2 + y^2)^2 \\ \\ &=c^2\end{align*}
Si en plus tu choisis \(x\) et \(y\) pour qu'ils soient premier entre eux (ils ne partagent pas de facteur commun) et que soit \(x\) ou soit \(y\) est pair, le triplet obtenu sera primitif (donc \(a\), \(b\) et \(c\) n'auront pas de facteur commun).
Exemple : disons que \(x = 7\) et \(y = 2\). On obtient \[a = 2xy = 2(7)(2) = 28\] \[b = x^2 - y^2 = 7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45\] et \[c = x^2 + y^2 = 7^2 + 2^2 = 49 + 4 = 53\]
C'est vrai que \[28^2 + 45^2 = 53^2\] Tu peux vérifier avec une calculatrice au besoin !
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