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DauphinAutonome2750

Comment on trouve/génére un triplet pythagoricien?

LoutreSolidaire8177

Salut,

Tu peux choisir deux nombres, \(x\) et \(y\). Disons que \(x>y\).

Calcule : \begin{align*}a&=2xy \\ \\ b&=x^{2}-y^{2} \\ \\ c&=x^{2}+y^{2}\end{align*}

Voilà ! Tu as un triplet pythagoricien : \[a^2 + b^2 = c^2\]

Tu peux vérifier que ça fonctionne : \begin{align*}a^2 + b^2 &= (2xy)^2 + (x^2-y^2)^2 \\ \\ &= 4x^2y^2 + x^4 - 2x^2y^2 + y^4 \\ \\ &=x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \\ \\ &= (x^2 + y^2)^2 \\ \\ &=c^2\end{align*}

Si en plus tu choisis \(x\) et \(y\) pour qu'ils soient premier entre eux (ils ne partagent pas de facteur commun) et que soit \(x\) ou soit \(y\) est pair, le triplet obtenu sera primitif (donc \(a\), \(b\) et \(c\) n'auront pas de facteur commun).

Exemple : disons que \(x = 7\) et \(y = 2\). On obtient \[a = 2xy = 2(7)(2) = 28\] \[b = x^2 - y^2 = 7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45\] et \[c = x^2 + y^2 = 7^2 + 2^2 = 49 + 4 = 53\]

C'est vrai que \[28^2 + 45^2 = 53^2\] Tu peux vérifier avec une calculatrice au besoin !

Au plaisir !