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WapitiBionique3993

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Bonjour j'ai beaucoup de misère avec les identités trigonométrique et j'aimerais avoir des explications. J'ai déja consulté la page dédiée a ce sujet ,mais je suis toujours sans réponse, Merci!

LoutreSolidaire8177

Salut !

Pour le b), utilise les identités fondamentales :

\[\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1\]

\[\dots\]

\[1-\cos^{2}(x) \ = \ ?\]

ainsi que

\[\tan^{2}(x) + 1 = \sec^{2}(x)\]

À toi de jouer !

PS. Un petit truc supplémentaire : pour te rappeler des deux autres identités, tu peux toujours partir de celle-ci :

\[\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1\]

Si tu divises chaque côté par \(\cos^{2}(x)\), tu obtiens

\[\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} + \frac{\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} = \frac{1}{\cos^{2}(x)}\]

ce qui fait

\[\tan^{2}(x) + 1 = \sec^{2}(x)\]

alors que si tu pars de \[\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1\]

et que tu divises plutôt chaque côté par \(\sin^{2}(x)\), tu obtiens

\[\frac{\sin^{2}(x)}{\sin^{2}(x)} + \frac{\cos^{2}(x)}{\sin^{2}(x)} = \frac{1}{\sin^{2}(x)}\]

ce qui fait

\[1 + \cot^{2}(x) = \csc^{2}(x)\]

Katia K

Salut!

Pour démontrer ces identités, tu dois prendre un des deux côtés de l'équation, puis effectuer les manipulations nécessaires afin d'obtenir l'expression de l'autre côté de l'équation.

Faisons le numéro a) ensemble. Ici, il serait plus judicieux de commencer avec le côté gauche de l'équation, puisqu'avec l'identité cot²x, on peut déjà voir qu'on a de quoi travailler avec.

Lorsque tu as des expressions comme celles-ci, je te conseille de transformer toutes les identités afin de n'avoir que des sin et des cos, cela sera beaucoup plus facile pour toi de voir ce que tu peux faire avec l'expression.

Donc, transformons sin(x)cot²x en éliminant cot²x. Rappelons-nous que :

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Ainsi, on a :

$$ sinx• cot^2x$$

$$ sinx• (\frac{cosx}{sinx})^2$$

On peut distribuer l'exposant pour chaque partie de la fraction :

$$ sinx• \frac{cos^2x}{sin^2x}$$

$$ sinx• \frac{cosx•cosx}{sinx•sinx}$$

On peut simplifier l'expression en enlevant le sin(x) au numérateur et un au dénominateur :

$$ \frac{cosx•cosx}{sinx}$$

Maintenant, on doit regarder ce que l'on souhaite obtenir (le côté droit de l'équation), et effectuer les changements nécessaires pour cela. On veut garder un cos(x), nous allons donc le retirer de la fraction afin de le mettre de côté et ne plus y toucher :

$$ cosx•\frac{cosx}{sinx}$$

Ensuite, on veut aussi avoir un cot(x). Ça tombe bien, cos(x)/sin(x) donne justement cot(x)!

$$ cosx•cotx$$

Et voilà! On a donc prouvé que sinx• cot²x est bien égal à cos(x)cot(x)!

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Tu peux essayer de prouver cette identité en commençant par le côté de droite aussi, mais cela demanderait un petit peu plus de réflexion ;)

Ainsi, lorsque tu essaies de prouver des identités et que tu voies que tu bloques un peu, il se peut que tu aies commencé par le côté le moins évident, je te conseille alors de changer de côté d'équation pour débuter la preuve. Il y a souvent un côté plus facile à démontrer que l'autre, essaie de voir lequel serait le plus judicieux de prendre avant de commencer. Si en cours de route tu vois que cela devient complexe, change de côté!

De plus, pour les preuves un peu plus rigoureuses, il est souvent utile de multiplier l'expression par une expression équivalente à 1, comme par exemple sinx/sinx, cosx/cosx, tanx/tanx, etc.

Plus tu te pratiqueras, et plus cela te semblera naturel! J'espère que cela t'a aidé! :)