Zone d’entraide

PotassiumAgile5785

Bonsoir !

Quels sont le domaine et l'image de x^2/4 - y^2/12 ≤ 1 ?

Pourriez vous svp m’aider ?

Merci!

FerUpsilon5520

Si on oublie l'inégalité, l'équation représente une hyperbole horizontale centrée à l'origine (voirhttps://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/l-hyperbole-conique-m1329)

Il ne s'agit pas d'une fonction, donc la question est quelles sont les valeurs de x et de y pour lesquelles l'inéquation est respectée.

Tu peux facilement représenter l'hyperbole en question sur un graphe. Donne toi quelques valeurs et tu verras quelles régions du graphe respectent l'inégalité.

Katia K

Salut!

Pour trouver le domaine et l’image de cette fonction, tu dois d’abord transformer l’équation sous forme canonique, pour pouvoir ensuite tracer le graphique de la fonction et évaluer son domaine et son image.

On a :

$$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} ≤ 1 $$

Puisqu’on veut avoir la variable y isole d’un côté, on va déplacer le terme contenant la variable x de l’autre côté de l’équation : 

$$  - \frac{y^2}{12} ≤ 1 - \frac{x^2}{4} $$

Nous allons éliminer la fraction contenant la variable y en multipliant les deux côtés par le dénominateur : 

$$  - \frac{y^2}{12} \times 12≤ 1 - \frac{x^2}{4}  \times 12 $$

$$ -y^2 ≤ 12- 3x^2$$

Ensuite, on doit éliminer le signe négatif devant le y. Pour ce faire, on va diviser chaque côté par -1, ce qui fait en sorte que le signe d’inéquation sera inversé :

$$ y^2 ≥ -12+3x^2$$

Finalement, on doit effectuer une racine carrée sur chaque côté de l’équation afin d’isoler complètement y :

$$ \sqrt{y^2} ≥ \sqrt{-12+3x^2}$$

$$ y ≥ \sqrt{3x^2-12} $$

Il ne reste plus qu’à tracer le graphique de la fonction pour évaluer le domaine et l’image! 

Voici une fiche sur cette notion qui pourrait t’être utile : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-proprietes-des-fonctions-m1107

Si tu as d’autres questions, on est là! :)