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DimorphodonAdmirable912

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Bonjour j'ai besoin de l'aide pour la simplifier et la réduire à sa plus simple expression, svp merci

Katia K

Salut!

Pour simplifier cette expression, il faut la factoriser. Il existe différentes techniques de factorisation, il faut donc choisir les plus appropriées selon ce qu'on a dans notre expression.

Tout d'abord, nous allons voir s'il est possible d'effectuer une mise en évidence simple. Nous pouvons constater qu'il est possible d'en faire une pour un des facteurs au dénominateur, soit (2x+4). Nous aurons donc :

$$ \frac{(x+16)(x^2-16)(4x^2+16x+1)}{2(x+2)(x+4)^2}$$

Puis, nous pouvons constater que nous avons plusieurs binômes, et un seul trinôme. Pour les binômes, la technique de factorisation que nous connaissons est celle de la différence de carrés. Nous devons donc déterminer s'il est possible d'utiliser cette technique dans l'un des facteurs de cette expression, en cherchant si l'un de ceux-ci possède un signe de soustraction, et si ses deux termes sont des carrés. Nous pouvons constater que le facteur (x^2-16) remplit ces deux conditions. En effectuant une différence de carré sur ce facteur, nous aurons alors :

$$ \frac{(x+16)(x-4)(x+4)(4x^2+16x+1)}{2(x+2)(x+4)^2}$$

Nous pouvons maintenant réduire le terme semblable (x+4) au numérateur et au dénominateur :

$$ \frac{(x+16)(x-4)(4x^2+16x+1)}{2(x+2)(x+4)}$$

(Voici une fiche sur la différence de carrés pour plus d'exemples : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/la-difference-de-carres-m1454)

Il n'y a plus rien à faire pour les binômes restant à ce stade. Nous allons maintenant analyser le trinôme. Nous pouvons constater que le premier terme 4x² et le troisième terme, 1, sont des carrés. Pour vérifier s'il s'agit d'un trinôme carré parfait, nous allons vérifier si le 2e terme respecte la condition suivante :

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2e terme = 16x ≠  2 × (2x ×1)

Il ne s'agit donc pas d'un TCP. La technique de produit-somme n’est pas applicable, et celle de la complétion du carré ne nous permettra pas d'obtenir une expression plus factorisée que cela. L'expression factorisée à sa forme la plus simple est donc :

$$ \frac{(x+16)(x-4)(4x^2+16x+1)}{2(x+2)(x+4)}$$

L'expression est encore un peu lourde, mais nous ne pouvons rien faire de plus pour la factoriser davantage! Tu pourrais décider de multiplier les parenthèses, mais tu n'obtiendras pas dans ce cas là une expression factorisée, et cela ne servirait à rien, puisque l'expression serait juste encore plus grosse que maintenant ;)

Voici une fiche sur les différentes techniques de factorisation qui pourrait t'être utile : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/la-factorisation-d-un-polynome-m1077

N'hésite pas à nous réécrire si tu as d'autres questions :)