Zone d’entraide

DimorphodonAdmirable912

Bonjour je n'ai toujours pas compris comment le faire, merci

Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.

AvocatTenace6777

bonjour,

\[ \sqrt{245×135×507×25×4} \]

\[ =\sqrt{(5\times 7^2)\times (3^3\times 5)\times (3\times 13^2)\times 5^2 \times 2^2} \]

\[ =\sqrt{2^2\times 3^4\times 5^4\times 7^2\times 13^2} \]

\[ =(2^2\times 3^4\times 5^4\times 7^2\times 13^2)^{\frac{1}{2}} \]

\[ =\dots \]

Katia K

Salut!

Pour réduire cette expression, tu peux remplacer chaque facteur par un produit de facteurs équivalents. Par exemple, puisque 245 = 5 × 49 = 5 × 7 × 7 = 5 × 7², nous pouvons donc écrire :

$$ \sqrt{(5×7²)×135×507×25×4}$$

Nous allons faire cela pour chaque facteur de l'expression. Puisque 135 = 5 × 27 = 5 × 3 × 9 = 5 × 3 × 3 × 3 = 5 × 3³, nous allons écrire :

$$ \sqrt{(5 × 7²)×(5 × 3³)×507×25×4}$$

Nous pouvons aussi remplacer 25 et 4 par leur carré, soit 5 et 2 :

$$ \sqrt{5 × 7²×5 × 3³×507×5^2×2²}$$

Nous pouvons constater que nous avons plusieurs bases identiques, nous allons donc les combiner en utilisant la loi des exposants suivante :

Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.

Nous avons alors :

$$ \sqrt{5^{1+1+2} × 7²× 3³×507×2²}$$

$$ \sqrt{5^4 × 7²× 3³×507×2²}$$

Je te laisse décomposer 507 en facteurs équivalents.

Puis, nous savons qu'une racine carrée représente un exposant de 1/2. Ainsi, nous pouvons utiliser la loi des exposants de la puissance d'un produit, soit :

Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.

Pour transformer l'expression de la sorte :

$$ (5^4 × 7²× 3³×507×2²)^{\frac{1}{2}}$$

$$ (5^4)^{\frac{1}{2}} × (7²)^{\frac{1}{2}} × (3³)^{\frac{1}{2}}×507^{\frac{1}{2}}×(2^2)^{\frac{1}{2}}$$

Ensuite, nous allons utiliser la loi d'une puissance d'une puissance :

Ce contenu est protégé par le droit d'auteur. Toute reproduction à l'extérieur des forums Alloprof est interdite et pourra être considérée comme une violation du droit d'auteur.

Pour avoir :

$$ 5^{4×\frac{1}{2}} × 7^{2\times \frac{1}{2}} × 3^{3\times \frac{1}{2}}×507^{\frac{1}{2}}×2^{2\times \frac{1}{2}}$$

Il ne reste plus qu'à simplifier l'expression :

$$ 5^2 × 7 × 3^{\frac{3}{2}}×507^{\frac{1}{2}}×2$$

$$ 5^2 × 7 ×2× \sqrt{3^3}×\sqrt{507}$$

Voici une fiche sur cette notion qui pourrait t’être utile :

https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-lois-des-exposants-m1044

 

N'hésite pas si tu as d'autres questions :)