Zone d’entraide

DimorphodonAdmirable912

Bonjour je n'ai toujours pas compris comment le faire, merci

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AvocatTenace6777

bonjour,

$$\sqrt{245\times 135\times 507\times 25\times 4}$$

$$=\sqrt{(5\times 7^2)\times (3^3\times 5)\times (3\times {13}^2)\times 5^2\times 2^2}$$

$$=\sqrt{2^2\times 3^4\times 5^4\times 7^2\times {13}^2}$$

$$=(2^2\times 3^4\times 5^4\times 7^2\times {13}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

$$=\dots$$

Katia K

Salut!

Pour réduire cette expression, tu peux remplacer chaque facteur par un produit de facteurs équivalents. Par exemple, puisque 245 = 5 × 49 = 5 × 7 × 7 = 5 × 7², nous pouvons donc écrire :

$$\sqrt{(5\times 7²)\times 135\times 507\times 25\times 4}$$

Nous allons faire cela pour chaque facteur de l'expression. Puisque 135 = 5 × 27 = 5 × 3 × 9 = 5 × 3 × 3 × 3 = 5 × 3³, nous allons écrire :

$$\sqrt{(5\times 7²)\times (5\times 3³)\times 507\times 25\times 4}$$

Nous pouvons aussi remplacer 25 et 4 par leur carré, soit 5 et 2 :

$$\sqrt{5\times 7²\times 5\times 3³\times 507\times 5^2\times 2²}$$

Nous pouvons constater que nous avons plusieurs bases identiques, nous allons donc les combiner en utilisant la loi des exposants suivante :

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Nous avons alors :

$$\sqrt{5^{1+1+2}\times 7²\times 3³\times 507\times 2²}$$

$$\sqrt{5^4\times 7²\times 3³\times 507\times 2²}$$

Je te laisse décomposer 507 en facteurs équivalents.

Puis, nous savons qu'une racine carrée représente un exposant de 1/2. Ainsi, nous pouvons utiliser la loi des exposants de la puissance d'un produit, soit :

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Pour transformer l'expression de la sorte :

$$(5^4\times 7²\times 3³\times 507\times 2²{)}^{\frac{1}{2}}$$

$$(5^4{)}^{\frac{1}{2}}\times (7²{)}^{\frac{1}{2}}\times (3³{)}^{\frac{1}{2}}\times {507}^{\frac{1}{2}}\times (2^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

Ensuite, nous allons utiliser la loi d'une puissance d'une puissance :

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Pour avoir :

$$5^{4\times \frac{1}{2}}\times 7^{2\times \frac{1}{2}}\times 3^{3\times \frac{1}{2}}\times {507}^{\frac{1}{2}}\times 2^{2\times \frac{1}{2}}$$

Il ne reste plus qu'à simplifier l'expression :

$$5^2\times 7\times 3^{\frac{3}{2}}\times {507}^{\frac{1}{2}}\times 2$$

$$5^2\times 7\times 2\times \sqrt{3^3}\times \sqrt{507}$$

Voici une fiche sur cette notion qui pourrait t’être utile :

https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-lois-des-exposants-m1044

 

N'hésite pas si tu as d'autres questions :)