Postsecondaire • 3m
Comment pourrais-je évaluer cette limite
Comment pourrais-je évaluer cette limite
J'appliquerais simplement la règle de l'Hospital:
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(dans la liste "Limites de formes indéterminées" que je t'ai récemment fournie)
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Salut!
En évaluant les limites du numérateur et du dénominateur séparément :
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\sqrt{100-y^2}) $$
$$(\sqrt{100-10^2})=0 $$
et
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (y-10) $$
$$ (10-10) =0$$
On trouve 0/0, et puisque la forme est indéterminée, il faut transformer notre expression. Pour cela, on peut multiplier l'expression par \(\frac{\sqrt{100-y^2}}{\sqrt{100-y^2}}\) :
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\frac{\sqrt{100-y^2}}{y-10} ) $$
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\frac{\sqrt{100-y^2}\sqrt{100-y^2}}{(y-10)\sqrt{100-y^2}} $$
Le numérateur peut se simplifier :
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\frac{100-y^2}{(y-10)\sqrt{100-y^2}} $$
Et on peut factoriser le numérateur avec une différence de carrés :
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\frac{10^2-y^2}{(y-10)\sqrt{100-y^2}} $$
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\frac{(10-y)(10+y)}{(y-10)\sqrt{100-y^2}} $$
Ensuite, on peut mettre en évidence un signe négatif au numérateur :
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\frac{-(-10+y)(10+y)}{(y-10)\sqrt{100-y^2}} $$
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\frac{-(y-10)(10+y)}{(y-10)\sqrt{100-y^2}} $$
Ce qui nous permet d'éliminer le facteur commun (y-10) au numérateur et au dénominateur :
$$\lim\limits_{y \rightarrow 10^{-}} (\frac{-(10+y)}{\sqrt{100-y^2}} $$
On peut évaluer la limite au numérateur et au dénominateur. Je te laisse continuer avec ces indices.
J'espère que cela t'aide! :)
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