Zone d’entraide

PerleSage1805

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Comment pourrais-je évaluer cette limite

FerUpsilon5520

J'appliquerais simplement la règle de l'Hospital:

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(dans la liste "Limites de formes indéterminées" que je t'ai récemment fournie)

Katia K

Salut!

En évaluant les limites du numérateur et du dénominateur séparément :

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\sqrt{100-y^2})$$

$$(\sqrt{100-{10}^2})=0$$

et

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(y-10)$$

$$(10-10)=0$$

On trouve 0/0, et puisque la forme est indéterminée, il faut transformer notre expression. Pour cela, on peut multiplier l'expression par $\frac{\sqrt{100-y^2}}{\sqrt{100-y^2}}$ :

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\frac{\sqrt{100-y^2}}{y-10})$$

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\frac{\sqrt{100-y^2}\sqrt{100-y^2}}{(y-10)\sqrt{100-y^2}}$$

Le numérateur peut se simplifier :

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\frac{100-y^2}{(y-10)\sqrt{100-y^2}}$$

Et on peut factoriser le numérateur avec une différence de carrés :

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\frac{{10}^2-y^2}{(y-10)\sqrt{100-y^2}}$$

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\frac{(10-y)(10+y)}{(y-10)\sqrt{100-y^2}}$$

Ensuite, on peut mettre en évidence un signe négatif au numérateur :

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\frac{-(-10+y)(10+y)}{(y-10)\sqrt{100-y^2}}$$

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\frac{-(y-10)(10+y)}{(y-10)\sqrt{100-y^2}}$$

Ce qui nous permet d'éliminer le facteur commun (y-10) au numérateur et au dénominateur :

$$\underset{y\to {10}^{-}}{lim}(\frac{-(10+y)}{\sqrt{100-y^2}}$$

On peut évaluer la limite au numérateur et au dénominateur. Je te laisse continuer avec ces indices.

J'espère que cela t'aide! :)