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Zone d’entraide

Question de l’élève

Secondaire 4 • 4h
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Est-ce-que quelqu'un me expliquer cet raisonnement? :)

Mathématiques
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Explications (1)

  • Explication vérifiée par Alloprof

    Explication vérifiée par Alloprof

    Cette explication a été vérifiée par un membre de l’équipe d’Alloprof.

    Options
    3h


    J'en fait la preuve par induction

    "Une preuve par induction se compose de deux cas. Le premier, le cas de base, prouve l'énoncé sans supposer aucune connaissance des autres cas. Le deuxième cas, l'étape d'induction, prouve que si l'énoncé est valable pour un cas donné (k), il doit également l'être pour le cas suivant (k+ 1)."


    Cas de base

    si n =1

    on a 1 + 2¹ = 3

    et 2² - 1 = 4 - 1 = 3

    donc l'énoncé est vrai pour n = 1


    Induction

    si pour n = k l'énoncé est vrai :

    on a 1 + 2 + 2² + .... + 2^k = 2^(k+1) - 1

    pour n = k + 1

    1 + 2 + 2² + .... + 2^k + 2^(k+1)

    = ( 1+ 2 + 2² + .... + 2^k ) + 2^(k+1)

    on remplace l'intérieur de la parenthèse par 2^(k+1) - 1 de l'énoncé précédent pour n = k

    = ( 2^(k+1) - 1 ) + 2^(k+1)

    = 2^(k+1) + 2^(k+1) - 1 = 2 · 2^(k+1) - 1 = 2^(κ+2) - 1

    l'énoncé est donc vrai pour n = k + 1


    CQFD

    (ce qu'il fallait démontrer)

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