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Est-ce-que quelqu'un me expliquer cet raisonnement? :)
"Une preuve par induction se compose de deux cas. Le premier, le cas de base, prouve l'énoncé sans supposer aucune connaissance des autres cas. Le deuxième cas, l'étape d'induction, prouve que si l'énoncé est valable pour un cas donné (k), il doit également l'être pour le cas suivant (k+ 1)."
Cas de base
si n =1
on a 1 + 2¹ = 3
et 2² - 1 = 4 - 1 = 3
donc l'énoncé est vrai pour n = 1
Induction
si pour n = k l'énoncé est vrai :
on a 1 + 2 + 2² + .... + 2^k = 2^(k+1) - 1
pour n = k + 1
1 + 2 + 2² + .... + 2^k + 2^(k+1)
= ( 1+ 2 + 2² + .... + 2^k ) + 2^(k+1)
on remplace l'intérieur de la parenthèse par 2^(k+1) - 1 de l'énoncé précédent pour n = k
Explication vérifiée par Alloprof
Cette explication a été vérifiée par un membre de l’équipe d’Alloprof.
J'en fait la preuve par induction
"Une preuve par induction se compose de deux cas. Le premier, le cas de base, prouve l'énoncé sans supposer aucune connaissance des autres cas. Le deuxième cas, l'étape d'induction, prouve que si l'énoncé est valable pour un cas donné (k), il doit également l'être pour le cas suivant (k+ 1)."
Cas de base
si n =1
on a 1 + 2¹ = 3
et 2² - 1 = 4 - 1 = 3
donc l'énoncé est vrai pour n = 1
Induction
si pour n = k l'énoncé est vrai :
on a 1 + 2 + 2² + .... + 2^k = 2^(k+1) - 1
pour n = k + 1
1 + 2 + 2² + .... + 2^k + 2^(k+1)
= ( 1+ 2 + 2² + .... + 2^k ) + 2^(k+1)
on remplace l'intérieur de la parenthèse par 2^(k+1) - 1 de l'énoncé précédent pour n = k
= ( 2^(k+1) - 1 ) + 2^(k+1)
= 2^(k+1) + 2^(k+1) - 1 = 2 · 2^(k+1) - 1 = 2^(κ+2) - 1
l'énoncé est donc vrai pour n = k + 1
CQFD
(ce qu'il fallait démontrer)
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