Secondaire 5 • 25j
Bonjour, je suis ne vraiment pas sûre de comprendre comment trouver le domaine de opération sur les fonction. Je ne trouve aucun d'exercices en ligne et les 3 exemple de notre cahier notes de cours sont vraiment insuffisant. Pourriez-vous m'expliquer cette notion avec quelques exemples?
Merci beaucoup!
Explication d'Alloprof
Cette explication a été donnée par un membre de l'équipe d'Alloprof.
Bonsoir, FraiseAdorable5247!
Pour la somme, la différence, le produit et le quotient de fonctions, le domaine correspond à l’intersection des deux domaines initiaux.
Voyons un exemple avec f(x)=2/x et g(x)=2x.
La fonction f(x) a comme domaine les réels sauf zéro. La fonction g(x) a comme domaine les réels.
Si on somme les deux fonctions, on obtient
$$ \begin{align} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ &=\dfrac{2}{x} + 2x \\ &= \dfrac{2}{x} +\dfrac{2x^2}{x} \\ &= \dfrac{2+2x^2}{x} \\ &= \dfrac{2(1+x^2)}{x} \end{align} $$
Le domaine est en effet l'intersection, donc l'ensemble des réels excluant 0.
$$ \mathbb{R} \backslash \lbrace 0 \rbrace \cap \mathbb{R} = \mathbb{R} \backslash \lbrace 0 \rbrace $$
Je t'invite à consulter les fiches sur les autres opérations dotées d'exemples.
Pour la composition des fonctions, le domaine doit tenir compte des restrictions des domaines deux fonctions de départ.
Par exemple, f(x)=1+x² et g(x)=√x.
Pour f(x)=1+x², il n'y a aucune restriction et le domaine est l'ensemble des réels.
Pour g(x)=√x, x doit être positif. Le domaine est donc l'ensemble des réels positifs.
Voyons le premier cas.
$$ \begin{align} (f \circ g)(x) &= f\big(g(x)\big) \\ &= f\left(\sqrt{x}\right) \\ &= 1+\left(\sqrt{x}\right)^2 \\ &=1+x \end{align} $$
Ce calcul rencontre une racine, donc le domaine est l'ensemble des nombres réels positifs.
Voyons le deuxième cas.
$$ \begin{align} (g \circ f)(x) &= g\big(f(x)\big) \\ &=g\left(1+x^2\right) \\ &=\sqrt{1+x^2} \end{align} $$
Il y a une racine ici aussi, mais 1+x² est toujours positif donc il n'y a pas de problème. Le domaine est l'ensemble des nombres réels.
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