Les équations des lentilles

Dans certains manuels scolaires, on utilise la variable $p$ pour représenter la distance objet-miroir $(d_o)$ et la variable $q$ pour représenter la distance image-miroir $(d_i)$. 

Les formules à utiliser dans les lentilles sont les suivantes:
$m=\displaystyle \frac {h_{i}}{h_{o}} = \frac {-d_{i}}{d_{o}} = \frac {-l_{f}}{l_{o}} = \frac {-l_{i}}{l_{f}}$
$\displaystyle \frac {1}{d_{o}} + \frac {1}{d_{i}} = \frac {1}{l_{f}}$
${d_{i}} = {l_{i}} + {l_{f}}$
${d_{o}} = {l_{o}} + {l_{f}}$
${l_{i}} \times {l_{o}} = {l_{f}}^2$

Les formules dans les lentilles n'utilisent pas d'unités précises. Toutes les mesures représentent des mesures de longueur qui peuvent être mesurées par des mètres ou des centimètres. Bien que le choix des unités reste vaste, il est important de convertir toutes les mesures afin d'avoir les mêmes unités de mesure.

On regarde un timbre de $\small 2 \: \text {cm}$ à travers une loupe (formée d’une lentille convergente) qui a une longueur focale de $\small 15 \: \text {cm}$. Le timbre est placé à $\small 9 \: \text {cm}$ de la loupe. À quelle distance de la loupe se situe l’image ? Quelle est la taille de l’image ?

Il faut d’abord identifier nos variables. 
$$\begin{align}h_{o} &= 2 \: \text {cm} &d_{o} &= 9 \space \text {cm}\\ l_{f} &= +15 \space \text {cm} \end{align}$$
La longueur focale est positive puisque la lentille est convergente.
 
Pour trouver la position de l'image, une équation nous permet d'identifier la variable voulue.
$$\begin{align} \frac {1}{d_{o}} + \frac {1}{d_{i}} = \frac {1}{l_{f}} \quad \Rightarrow \quad \frac {1}{d_{i}} &= \frac {1}{l_{f}} - \frac {1}{d_{o}}  \\ \\ \frac {1}{d_{i}}&= \frac {1}{15 \space \text {cm}} -\frac {1}{9 \space \text {cm}} \\ \\ \frac {1}{d_{i}}&= \frac {-2}{45} \\\\ d_i&= -22,5 \: \text {cm}\end{align}$$
Le signe négatif de la valeur de $d_{i}$ nous indique que l’image est virtuelle. Ce résultat était attendu, car l'objet est situé entre le foyer le centre optique de la lentille.

Pour trouver la hauteur de l'image, les proportions du grandissement seront utilisées.
$$\begin{align} \frac {h_{i}}{h_{o}} =\frac {-d_{i}}{d_{o}} \quad \Rightarrow \quad h_{i} &= \frac {h_{o}  \times -d_{i}}{d_{o}} \\ \\ h_i&= \frac{2\: \text{cm}\times -(-22,5) \: \text  {cm}}{9 \: \text {cm}}\\ \\ h_i&= 5 \: \text{cm} \end{align}$$
Puisque le signe de $h_i$ est positif, l’image est droite.

Une lentille divergente dont la longueur focale est de $\small 15 \: \text {cm}$ produit une image 3 fois plus petite que l'objet. À quelle distance de la lentille a-t-on dû placer l'objet?

Il faut d’abord identifier nos variables.
$$\begin{align}l_{f} &= -15 \: \text {cm} &m &=  \frac {1}{3}\\  \end{align}$$
On utilise le signe négatif pour la longueur focale, car la lentille est divergente.
Les valeurs de $d_{i}$ et de $d_{o}$ sont inconnues. Toutefois, en utilisant le g​randissement, il est possible de connaître la relation entre ces deux variables.
$$\begin{align} m=\displaystyle \frac {-d_{i}}{d_{o}} \quad \Rightarrow \quad \frac {1}{3} &= \frac {-d_{i}}{d_{o}}  \\ \\ \frac {d_{o}}{3} &={-d_{i}} \\ \\ \frac {-d_{o}}{3} &={d_{i}} \end{align}$$
Il est ensuite possible de substituer ces variables afin de trouver la valeur de $d_{o}$.
$$\begin{align} \frac {1}{d_{o}} + \frac {1}{d_{i}} = \frac {1}{l_{f}} \quad \Rightarrow \quad \frac {1}{d_{o}} + \frac {1}{\frac {-d_{o}}{3}} &= \frac {1}{-15 \: \text {cm}}  \\ \\  \frac {1}{d_{o}} + \frac {-3}{d_{o}} &= \frac {1}{-15 \: \text {cm}} \\ \\ \frac {-2}{d_{o}} &= \frac {1}{-15 \: \text {cm}} \\ \\ d_{o} &= 30 \: \text {cm}​ \end{align}$$

L'objet doit donc être placé à $30 \: \text {cm}​$ de la lentille pour obtenir une image trois fois plus petite.

Le grandissement $(m)$ d'un objet est le rapport de la hauteur de l’image $(h_i)$ sur la hauteur de l’objet $(h_o)$​.

Dans certains manuels scolaires, on utilise la variable $(G)$ pour représenter le grandissement $(m)$. 

Pour calculer le grandissement, la formule à utiliser est la suivante: $m=\displaystyle \frac {h_{i}}{h_{o}} = \frac {-d_{i}}{d_{o}} = \frac {-l_{f}}{l_{o}} = \frac {-l_{i}}{l_{f}}$