Les méthodes générales de résolution d'équations

La résolution d'équations est la démarche qui permet de déterminer la ou les valeurs d'une inconnue qui valident l'équation.

La méthode de la balance consiste à isoler la variable dans un des membres de l'équation en utilisant les règles de transformation des équations.

On cherche la valeur de $x$ dans l'équation suivante : $2x + 5 = x + 7$

1. Pour éliminer le terme algébrique $x$ du membre de droite, on le soustrait aux deux membres de l'équation. $$\begin{align}2x + 5 \color{red}{- x} &= x + 7 \color{red}{- x} \\ x + 5 &= 7 \end{align}$$

2. Pour isoler $x$ dans le membre de gauche, on soustrait $5$ aux deux membres de l'équation. $$\begin{align} x + 5 \color{red}{- 5} &= 7 \color{red}{- 5} \\ x &= 2 \end{align}$$

On conclut que $x = 2.$

On cherche la valeur de $x$ dans l'équation suivante : $\displaystyle \frac{3x}{4} - 2{,}5 = 2{,}3$

1. Pour isoler le terme $\displaystyle \frac{3x}{4}$ dans le membre de gauche, on additionne $2{,}5$ aux deux membres de l'équation. $$\begin{align} \frac{3x}{4} - 2{,}5 \color{red}{+ 2{,}5} &= 2{,}3 \color{red}{+ 2{,}5} \\ \frac{3x}{4} &= 4{,}8 \end{align}$$

2. Pour isoler le terme $3x$ dans le membre de gauche, on multiplie par $4$ les deux membres de l'équation. $$\begin{align} \frac{3x}{4}\color{red}{\times 4} &= 4{,}8\color{red}{\times 4} \\ 3x &= 19{,}2 \end{align}$$

3. Pour isoler $x$ dans le membre de gauche, on divise par $3$ les deux membres de l'équation. $$\begin{align} \color{red}{\frac{\color{black}{3x}}{3}} &= \color{red}{\frac{\color{black}{19{,}2}}{3}} \\ x &= 6{,}4 \end{align}$$

On conclut que $x = 6{,}4.$

La méthode des opérations inverses consiste à isoler la variable inconnue en effectuant sur un des membres de l'équation les opérations inverses de celles effectuées sur l'autre membre de l'équation.

On cherche la valeur de $x$ dans l'équation suivante : $\displaystyle \frac{2x}{3} - 16 = -6$

1. On transforme les opérations de l'équation en opérations inverses ainsi que le sens dans lequel les opérations doivent être effectuées. $$\begin{align} &x \to \times 2 \to \div 3 \to - 16\ = -6 \\ &x =\: \div 2 \leftarrow \times 3 \leftarrow + 16 \leftarrow -6 \end{align}$$

2. On effectue les opérations de droite à gauche. $$\begin{align} x &= \div 2 \leftarrow \times 3 \leftarrow \color{red}{+ 16 \leftarrow -6}\\ x &= \div 2 \leftarrow \color{red}{\times 3 \leftarrow + 10}\\ x &= \color{red}{\div 2 \leftarrow 30} \\ x &= 15 \end{align}$$

On conclut que $x = 15.$

La méthode du recouvrement, aussi nommée méthode du terme caché, consiste à masquer un terme algébrique afin de chercher la valeur de ce terme caché par la suite.

On cherche la valeur de $x$ dans l'équation suivante : $\displaystyle \frac{5x}{3} - 12 = 8.$

1. On cherche la valeur de $\displaystyle \frac{5x}{3}.$

   On cache le terme $\displaystyle \frac{5x}{3}$ dans l'équation. $$\begin{align} \color{red}{?} - 12 &= 8\\ \color{red}{20} - 12 &= 8 \end{align}$$ On déduit que $\displaystyle \frac{5x}{3} = 20.$

2. On cherche la valeur de $5x.$

   On cache le terme $5x$ dans l'équation. $$\begin{align} \frac{\color{red}{?}}{3} = 20\\ \frac{\color{red}{60}}{3} = 20 \end{align}$$ On déduit que $5x = 60.$

3. On cherche la valeur de $x.$

   On cache le terme $x$ dans l'équation. $$\begin{align} 5 \times\ \color{red}{?}\ &= 60 \\ 5\times \color{red}{12} &= 60 \end{align}$$ On déduit que $x = 12.$

On conclut que $x = 12.$

La méthode par essais et erreurs consiste à essayer différentes valeurs possibles pour la variable et à vérifier si celles-ci sont des solutions de l'équation.

On cherche la valeur de $x$ dans l'équation suivante : $\displaystyle \frac{x}{2} + 6 = 10.$

1^er essai : On remplace $x$ par $2.$ $$\begin{align} \frac{\color{red}{2}}{2} + 6 &\overset{?}{=} 10 \\ 1 + 6 &\overset{?}{=} 10 \\ 7 &\neq 10 \end{align}$$ L'égalité est fausse, car $7 < 10.$ On déduit que la solution est supérieure à $2.$

2^e essai : On remplace $x$ par $10.$ $$\begin{align} \frac{\color{red}{10}}{2} + 6 &\overset{?}{=} 10 \\ 5 + 6 &\overset{?}{=} 10 \\ 11 &\neq 10 \end{align}$$ L'égalité est fausse, car $11>10.$ On déduit que la solution est inférieure à $10.$

3^e essai : On remplace $x$ par $8.$ $$\begin{align} \frac{\color{red}{8}}{2} + 6 &\overset{?}{=} 10 \\ 4 + 6 &\overset{?}{=} 10 \\ 10 &= 10 \end{align}$$

L'égalité est vraie. On conclut que la solution est $x = 8.$

La validation d'une solution d'équation est une démarche servant à vérifier l'exactitude de la valeur de la variable trouvée.

La solution $x = 12$ a été obtenue dans l'exemple sur la méthode de recouvrement vue précédemment dans cette fiche. Afin de vérifier si cette réponse valide l'équation de départ, il suffit de remplacer la variable par la valeur trouvée. $$\begin{align} \frac{5x}{3} -12 &= 8 \\ \frac{5 \times \color{red}{12}}{3} -12 &\overset{?}{=} 8 \\ \frac{60}{3} -12 &\overset{?}{=} 8 \\ 20 -12 &\overset{?}{=} 8 \\ 8 &= 8 \end{align}$$

Comme l'égalité est vraie, on conclut que $x=12$ était bel et bien la bonne solution de l'équation.