Les composantes d'un vecteur

Soit 2 points du plan cartésien, $A(x_{\small{A}},y_{\small{A}})$ et $B(x_{\small{B}},y_{\small{B}}).$ On définit le vecteur $\overrightarrow{AB}$ de la façon suivante : $$\begin{align}\overrightarrow{AB}&=(\color{#EC0000}{\Delta x},\color{#3B87CD}{\Delta y})\\&=(\color{#EC0000}{x_{\small{B}}-x_{\small{A}}},\color{#3B87CD}{y_{\small{B}}-y_{\small{A}}})\\&=(\color{#EC0000}{a},\color{#3B87CD}{b})\end{align}$$

Quelles sont les composantes $\color{#EC0000}{a}$ et $\color{#3B87CD}{b}$ du vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivant?

Les coordonnées du point $A,$ qui correspond à l’origine du vecteur, sont $( -1,1).$ Quant au point $B,$ qui correspond à l’extrémité du vecteur, ses coordonnées sont $(-3,4).$ Pour calculer la composante horizontale $\color{#EC0000}{a},$ on a : $$\begin{align}\color{#EC0000}{a}&=\Delta x\\&=x_{\small{B}}-x_{\small{A}}\\&=-3--1\\&=\color{#EC0000}{-2}\end{align}$$ Pour ce qui est de la composante verticale $\color{#3B87CD}{b},$ on a : $$\begin{align}\color{#3B87CD}{b}&=\Delta y\\&=y_{\small{B}}-y_{\small{A}}\\&=4-1\\&=\color{#3B87CD}{3}\end{align}$$ Ainsi, les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(\color{#EC0000}{-2},\color{#3B87CD}{3}).$

Quelle est la composante verticale $\color{#3B87CD}{b}$ du vecteur $\overrightarrow{u}$ dont la composante horizontale est $\color{#EC0000}{a}=\color{#EC0000}{-8{,}4}$ et la norme est $\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}=\color{#3A9A38}{14}$?

À partir du triangle rectangle formé par le vecteur $\overrightarrow{u},$ on peut utiliser la relation de Pythagore.

$$\begin{align} \color{#EC0000}{a}^2+\color{#3B87CD}{b}^2&=\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}^2\\ (\color{#EC0000}{-8{,}4})^2+\color{#3B87CD}{b}^2&=\color{#3A9A38}{14}^2\\ 70{,}56+\color{#3B87CD}{b}^2&=196\\ \color{#3B87CD}{b}^2&=125{,}44\\ \color{#3B87CD}{b}&=\pm11{,}2 \end{align}$$

On rejette $-11{,}2,$ car le déplacement vertical du vecteur $\overrightarrow{u}$ se fait dans le sens positif de l’axe des $y.$ Ainsi, la composante verticale du vecteur $\overrightarrow{u}$ est $\color{#3B87CD}{b}=\color{#3B87CD}{11{,}2}.$

Soit un vecteur $\overrightarrow{u}=(\color{#EC0000}{a},\color{#3B87CD}{b})$ dont l’orientation $\color{#FA7921}{\theta}$ et l’une des composantes sont connues. À partir des relations trigonométriques dans un vecteur, on a : $$\tan\color{#FA7921}{\theta}=\dfrac{\color{#3B87CD}{b}}{\color{#EC0000}{a}}$$ En isolant $\color{#EC0000}{a}$ et $\color{#3B87CD}{b}$ respectivement, on obtient les formules suivantes. $$\begin{align}\color{#EC0000}{a}&=\dfrac{\color{#3B87CD}{b}}{\tan\color{#FA7921}{\theta}}\\\\\color{#3B87CD}{b}&=\color{#EC0000}{a}\tan\color{#FA7921}{\theta}\end{align}$$

Quelle est la composante horizontale $\color{#EC0000}{a}$ du vecteur $\overrightarrow{u}$ dont la composante verticale est $\color{#3B87CD}{b}=\color{#3B87CD}{4{,}45}$ et l’orientation est $\color{#FA7921}{\theta}=\color{#FA7921}{51^\circ}$?

À partir du triangle rectangle formé par le vecteur $\overrightarrow{u},$ on peut utiliser la formule pour calculer la composante horizontale $\color{#EC0000}{a}.$ $$\begin{align}\color{#EC0000}{a}&=\dfrac{\color{#3B87CD}{b}}{\tan\color{#FA7921}{\theta}}\\\\&=\dfrac{\color{#3B87CD}{4{,}45}}{\tan\color{#FA7921}{51^\circ}}\\\\\color{#EC0000}{a}&\approx\color{#EC0000}{3{,}6}\end{align}$$ Ainsi, la composante horizontale du vecteur $\overrightarrow{u}$ est $\color{#EC0000}{3{,}6}.$

Soit un vecteur $\overrightarrow{u}=(\color{#EC0000}{a},\color{#3B87CD}{b})$ dont la norme $\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}$ et l’orientation $\color{#FA7921}{\theta}$ sont connues. À partir des relations trigonométriques dans un vecteur, on a : $$\begin{align}\cos\color{#FA7921}{\theta}&=\dfrac{\color{#EC0000}{a}}{\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}}\\\\\sin\color{#FA7921}{\theta}&=\dfrac{\color{#3B87CD}{b}}{\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}}\end{align}$$ En isolant $\color{#EC0000}{a}$ et $\color{#3B87CD}{b}$ respectivement, on obtient les formules suivantes. $$\begin{align}\color{#EC0000}{a}&=\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}\cos\color{#FA7921}{\theta}\\\\\color{#3B87CD}{b}&=\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}\sin\color{#FA7921}{\theta}\end{align}$$

Quelles sont les composantes du vecteur $\overrightarrow{u}$ dont la norme est $\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}=\color{#3A9A38}{5{,}8}$ et l’orientation est $\color{#FA7921}{\theta}=\color{#FA7921}{320^\circ}$?

À partir du triangle rectangle formé par le vecteur $\overrightarrow{u},$ on peut utiliser la formule pour calculer la composante horizontale $\color{#EC0000}{a}.$ $$\begin{align}\color{#EC0000}{a}&=\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}\cos\color{#FA7921}{\theta}\\\color{#EC0000}{a}&=\color{#3A9A38}{5{,}8}\cos\color{#FA7921}{320^\circ}\\ \color{#EC0000}{a}&\approx\color{#EC0000}{4{,}44}\end{align}$$ Quant à la composante verticale $\color{#3B87CD}{b},$ on a : $$\begin{align}\color{#3B87CD}{b}&=\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}\sin\color{#FA7921}{\theta}\\\color{#3B87CD}{b}&=\color{#3A9A38}{5{,}8}\sin\color{#FA7921}{320^\circ}\\ \color{#3B87CD}{b}&\approx\color{#3B87CD}{-3{,}73}\end{align}$$ Ainsi, les composantes du vecteur $\overrightarrow{u}$ sont $(\color{#EC0000}{4{,}44};\color{#3B87CD}{-3{,}73}).$

Quelle est la norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ dont la composante horizontale est $\color{#EC0000}{a}=\color{#EC0000}{-5{,}6}$ et la composante verticale est $\color{#3B87CD}{b}=\color{#3B87CD}{-4{,}2}$?

En appliquant directement la relation de Pythagore, on a : $$\begin{align}\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}^2&=\color{#EC0000}{a}^2+\color{#3B87CD}{b}^2\\&=(\color{#EC0000}{-5{,}6})^2+(\color{#3B87CD}{-4{,}2})^2 \\&=49\\\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}&=\pm\sqrt{49}\\&=\pm7\end{align}$$ On rejette $-7$ comme valeur puisque la norme d’un vecteur est toujours positive. Ainsi, la norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ est $\color{#3A9A38}{{\parallel}\overrightarrow{u}{\parallel}}=\color{#3A9A38}{7}.$

Soit un vecteur $\overrightarrow{u}$ dont les composantes $\color{#EC0000}{a}$ et $\color{#3B87CD}{b}$ sont connues. Afin de calculer l’orientation $\color{#FA7921}{\theta}$ de ce vecteur, il est nécessaire d’utiliser la réciproque de la fonction tangente.

Toutefois, la fonction $\arctan$ ne donne que des valeurs d’angle entre $-90^\circ$ et $90^\circ.$ C’est la raison pour laquelle on utilise $\color{#EFC807}{\theta\ '}$ pour représenter le résultat de la fonction $\arctan$ et $\color{#FA7921}{\theta}$ pour représenter l’orientation du vecteur $\overrightarrow{u}.$ Ainsi, à partir des relations trigonométriques dans un vecteur, on a : $$\tan\color{#EFC807}{\theta\ '}=\dfrac{\color{#3B87CD}{b}}{\color{#EC0000}{a}}$$ En isolant $\color{#EFC807}{\theta\ '},$ on obtient la formule suivante. $$\color{#EFC807}{\theta\ '} =\arctan\left(\dfrac{\color{#3B87CD}{b}}{\color{#EC0000}{a}}\right)$$

Il est préférable de faire une esquisse du vecteur selon le signe des composantes $\color{#EC0000}{a}$ et $\color{#3B87CD}{b}.$ À l’aide de cette esquisse et du tableau ci-dessous, on applique la correction nécessaire à l’angle $\color{#EFC807}{\theta\ '}$ afin d’obtenir l’orientation $\color{#FA7921}{\theta}$ du vecteur $\overrightarrow{u}$ dont la mesure est entre $0^\circ$ et $360^\circ.$

	$a>0$	$a<0$
$b>0$	$\color{#FA7921}{\theta}=\color{#EFC807}{\theta\ '}+0^\circ$	$\color{#FA7921}{\theta}=\color{#EFC807}{\theta\ '}+180^\circ$
$b<0$	$\color{#FA7921}{\theta}=\color{#EFC807}{\theta\ '}+360^\circ$	$\color{#FA7921}{\theta}=\color{#EFC807}{\theta\ '}+180^\circ$

1. Déterminer les composantes $\color{#EC0000}{a}$ et $\color{#3B87CD}{b}$ du vecteur.

2. Calculer l’orientation $\color{#EFC807}{\theta\ '}$ du vecteur à l’aide de la formule $\color{#EFC807}{\theta\ '}=\arctan\left(\frac{\color{#3B87CD}{b}}{\color{#EC0000}{a}}\right).$

3. Analyser le signe des composantes $\color{#EC0000}{a}$ et $\color{#3B87CD}{b}$ et appliquer la correction à la valeur de $\color{#EFC807}{\theta\ '},$ au besoin.

4. Donner l’orientation $\color{#FA7921}{\theta}$ du vecteur.

Quelle est l’orientation du vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivant?

1. Déterminer les composantes $a$ et $b$ du vecteur
   Les coordonnées du point $A$ sont $(-3,10)$ et celles du point B sont $(-9,2).$ On a alors : $$\begin{align}\overrightarrow{AB}&=(\color{#EC0000}{a},\color{#3B87CD}{b})\\&=(x_{\small{B}}-x_{\small{A}},y_{\small{B}}-y_{\small{A}})\\&=(-9--3,2-10)\\&=(\color{#EC0000}{-6},\color{#3B87CD}{-8})\end{align}$$

2. Calculer l’orientation $\theta\ '$ du vecteur
   $$\begin{align}\color{#EFC807}{\theta\ '} &=\arctan\left(\dfrac{\color{#3B87CD}{b}}{\color{#EC0000}{a}}\right)\\ &=\arctan\left(\dfrac{\color{#3B87CD}{-8}}{\color{#EC0000}{-6}}\right)\\\\ \color{#EFC807}{\theta\ '} &\approx \color{#EFC807}{53{,}13^\circ} \end{align}$$

3. Analyser le signe des composantes $a$ et $b$ et appliquer la correction à la valeur de $\theta\ '$
   Puisque $\color{#EC0000}{a}<0$ et $\color{#3B87CD}{b}<0,$ on doit ajouter $180^\circ$ à $\color{#EFC807}{\theta\ '}$ pour obtenir l’orientation $\color{#FA7921}{\theta}.$ On a : $$\begin{align}\color{#FA7921}{\theta}&=\color{#EFC807}{\theta\ '} +180^\circ\\&=\color{#EFC807}{53{,}13^\circ}+180^\circ\\&=\color{#FA7921}{233{,}13^\circ}\end{align}$$

4. Donner l’orientation $\theta$ du vecteur
   Ainsi, l'orientation $\color{#FA7921}{\theta}$ du vecteur $\overrightarrow{AB}=(\color{#EC0000}{-6},\color{#3B87CD}{-8})$ est de $\color{#FA7921}{233{,}13^\circ}​.$