L'addition et la soustraction de vecteurs

La somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est définie par le vecteur résultant suivant. $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$$

1. Placer les vecteurs l'un à la suite de l'autre de façon à ce que l'extrémité du premier vecteur devienne l'origine du second vecteur.

2. Tracer le vecteur résultant en reliant l’origine du premier vecteur à l'extrémité du second vecteur.

Détermine la résultante de la somme des vecteurs suivants.

La résultante est le vecteur vert qui a été obtenu à la suite de l'addition de $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}.$

1. Placer $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de sorte qu’ils aient la même origine.

2. Tracer un autre $\overrightarrow{u}$ à l'extrémité de $\overrightarrow{v}.$

3. Tracer un autre $\overrightarrow{v}$ à l'extrémité de $\overrightarrow{u}.$

4. Tracer le vecteur résultant qui débute à l'origine et qui se rend jusqu'au sommet opposé du parallélogramme ainsi formé.

Détermine la résultante de la somme des vecteurs suivants.

La résultante est le vecteur vert qui a été obtenu à la suite de l'addition de $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}.$

Soit $\overrightarrow{u}=(a,b)$ et $\overrightarrow{v}=(c,d),$ alors : $$\begin{align}\overrightarrow {u}+\overrightarrow{v}&= (\color{#EC0000}a,\color{#3B87CD}b)+(\color{#EC0000}c, \color{#3B87CD}d)\\&=(\color{#EC0000}a+\color{#EC0000}c,\color{#3B87CD}b+ \color{#3B87CD}d)\end{align}$$

1. Additionner les composantes en $x$ et en $y$ de chacun des vecteurs.

2. Déduire les composantes du vecteur résultant.

Soit $\overrightarrow{u}=(3, 2)$ et $\overrightarrow{v}=(4, -1).$ Quelle est la résultante de la somme de ces 2 vecteurs?

1. Additionner les composantes en $x$ et en $y$ de chacun des vecteurs $$\begin{align}\overrightarrow {u}+\overrightarrow{v}&= (\color{#EC0000}3,\color{#3B87CD}2)+(\color{#EC0000}4, \color{#3B87CD}{-1})\\&=(\color{#EC0000}3+\color{#EC0000}4,\color{#3B87CD}2+ \color{#3B87CD}{-1})\\&=(7,1)\end{align}$$

2. Déduire les composantes du vecteur résultant
   Les composantes $(x,y)$ de la résultante sont $(7, 1).$

Il est possible d’additionner deux vecteurs à l’aide de la relation de Chasles lorsque l’extrémité du premier vecteur concorde avec l'origine du second vecteur. La somme est alors égale au vecteur ayant comme origine celle du premier et comme extrémité celle du second vecteur. $$\overrightarrow{A\color{#FF55C3}{B}}+\overrightarrow{\color{#FF55C3}BC}=\overrightarrow{AC}$$

Quel est le vecteur résultant de l’addition des vecteurs $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{TR}$?

On remarque que le premier vecteur a le point $R$ comme origine, alors que le second a le point $R$ comme extrémité. Comme l'addition des vecteurs est commutative, on peut changer l'ordre de l’addition des vecteurs, ce qui fait en sorte que l’extrémité du premier concorde avec l’origine du second. $$\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{TR}=\overrightarrow{TR}+\overrightarrow{RS}$$ On a maintenant la bonne forme pour pouvoir appliquer la relation de Chasles. On obtient : $$\overrightarrow{T\color{#FF55C3}{R}}+\overrightarrow{\color{#FF55C3}RS}=\overrightarrow{TS}$$ La résultante de la somme des vecteurs $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{TR}$ est le vecteur $\overrightarrow{TS}.$

La soustraction de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est : $$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})$$ Dans cette image, on a représenté l’addition et la soustraction de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}.$

Soit $\overrightarrow{u}=(a,b)$ et $\overrightarrow{v}=(c,d),$ alors : $$\begin{align}\overrightarrow {u}-\overrightarrow{v}&=\overrightarrow {u}+(-\overrightarrow{v})\\&= (\color{#EC0000}a,\color{#3B87CD}b)+(-\color{#EC0000}c, -\color{#3B87CD}d)\\&=(\color{#EC0000}a-\color{#EC0000}c,\color{#3B87CD}b-\color{#3B87CD}d)\end{align}$$

1. Additionner les composantes du premier vecteur avec l’opposé des composantes du deuxième vecteur. 

2. Déduire les composantes du vecteur résultant.

Soit le vecteur $\overrightarrow{u}=(3,2)$ et le vecteur $\overrightarrow{v}=(4,-1).$ Que vaut $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$?

1. Additionner les composantes du premier vecteur avec l’opposé des composantes du deuxième vecteur $$\begin{align}\overrightarrow {u}-\overrightarrow{v}&=(\color{#EC0000}a,\color{#3B87CD}b)+(-\color{#EC0000}c,-\color{#3B87CD}d)\\&=(\color{#EC0000}3,\color{#3B87CD}2)+(-\color{#EC0000}4,-\color{#3B87CD}{-1})\\&=(\color{#EC0000}3-\color{#EC0000}4,\color{#3B87CD}2+\color{#3B87CD}{1})\\&=(-1,3)\end{align}$$

2. Déduire les composantes du vecteur résultant
   Les composantes $(x,y)$ de la résultante sont $(-1,3).$

Quel est le vecteur résultant de la soustraction $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$?

Comme soustraire revient à additionner le vecteur opposé, on a : $$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$$ Comme l’extrémité du premier vecteur concorde avec l’origine du second, on peut appliquer la relation de Chasles. $$\overrightarrow{A\color{#FF55C3}{C}}+\overrightarrow{\color{#FF55C3}CB}=\overrightarrow{AB}$$ La résultante de la soustraction des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}.$