La réciproque de la fonction sinus (arcsin)

La réciproque de la fonction sinus de base est la fonction arc sinus qui s'intéresse à la mesure des angles (en radians) du cercle trigonométrique en fonction de l’ordonnée des points du cercle.

La règle de la fonction arc sinus de base est $f(x)=\arcsin (x).$ On note aussi cette fonction $f(x)=\sin^{-1}(x).$

Remarque : Il ne faut pas confondre la notation $\sin^{-1}(x)$ avec $\dfrac{1}{\sin (x)}.$

La réciproque d’une fonction sinus n’est pas une fonction. Pour qu’elle le devienne, on doit restreindre son image.

Dans le plan cartésien ci-dessous, on a tracé la fonction sinus de base. Pour tracer sa réciproque, on interchange les coordonnées $x$ et $y$ des points de la fonction. On peut aussi effectuer une réflexion des points par rapport à la droite d’équation $y=x.$ Par exemple, le point $\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)$ devient le point $\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right)\!.$

En procédant ainsi, on obtient une autre courbe, qui n’est pas une fonction. En limitant l’image de la réciproque à l’intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\!,$ on obtient la fonction arc sinus.
 

1. Interchanger $x$ et $y$ dans la règle.

2. Isoler la variable $y.$

3. Donner la règle de la réciproque.

Détermine la règle de la réciproque de la fonction $f(x)=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(x-\pi)\right)-5.$

1. Interchanger $x$ et $y$ dans la règle $$\begin{align}\color{#3B87CD}y&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#FF55C3}x-\pi)\right)-5\\ \color{#FF55C3}x&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)-5\end{align}$$

2. Isoler la variable $y$ $$\begin{align}x&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)-5\\x+5&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)\\ \dfrac{x+5}{-2}&=\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)\end{align}$$

Pour isoler $y,$ il faut éliminer $\sin$ en effectuant l’opération inverse, $\sin^{-1}.$ $$\begin{align}\color{#EC0000}{\sin^{-1}\!\left(\color{black}{\dfrac{x+5}{-2}}\right)}&=\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\\3\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x+5}{-2}\right)&=\color{#3B87CD}y-\pi\\3\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x+5}{-2}\right)+\pi&=\color{#3B87CD}y\end{align}$$ Il est possible de simplifier l’écriture en travaillant dans les parenthèses. En effet, la division par $-2$ peut aussi s’écrire comme une multiplication par $-\dfrac{1}{2}.$ $$\begin{align}3\sin^{-1}\!\left(\color{#EC0000}{\dfrac{x+5}{-2}}\right)+\pi&=y\\ 3\sin^{-1}\!\left(\color{#EC0000}{-\dfrac{1}{2}(x+5)}\right)+\pi&=y\end{align}$$

3. Donner la règle de la réciproque

La règle de la réciproque de la fonction sinus est la suivante. $$f^{-1}(x)=3\sin^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{2}(x+5)\right)+\pi$$

Remarque : Pour que la réciproque devienne une fonction, on doit limiter son image.