Les propriétés de la fonction sinus (cosinus)

Secondaire 5

Dans l'animation suivante, tu peux d'abord sélectionner la fonction sinusoïdale de ton choix (sinus ou cosinus), puis tu peux modifier les paramètres $a,$ $b,$ $h$ et $k$ et observer leurs effets sur les propriétés de la fonction. Après cette exploration, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour avoir toutes les précisions concernant les propriétés de ces fonctions.

Dans le tableau suivant, tu peux observer l'analyse de toutes les propriétés de la fonction sinus à l'aide d'un exemple.

Propriétés	Fonction sous la forme canonique	Exemple
Règle	$f(x)=a\sin(b(x-h))+k$	$f(x)=-4\sin(-2(x-\pi))+3$
Équation de l'ordonnée moyenne (l'axe d'oscillation)	$y=k$	$y=3$
Période	$P=\dfrac{2 \pi}{\mid b \mid }$	$P=\dfrac{2\pi}{\mid -2 \mid}=\pi$
Domaine $(\text{dom }f)$	$\text{dom }f=\mathbb{R}$	$\text{dom } f=\mathbb{R}$
Image $(\text{ima }f)$	$\text{ima } f = [k\ -\mid a \mid ,\ k\ +\mid a \mid]$	$[-1,\ 7]$
Croissance et décroissance	Si $a$ et $b$ sont du même signe $(ab>0),$ la fonction est croissante lorsqu'elle passe par le point $(h,k).$ La fonction est croissante sur l'intervalle $[h-\frac{1}{4}P+nP,\ h+\frac{1}{4}P+nP]$ ¹ Elle est décroissante sur l'intervalle $[h+\frac{1}{4}P+nP,\ h+\frac{3}{4}P+nP]$ ¹ Si $a$ et $b$ sont de signes contraires $(ab<0)$ , la fonction est décroissante lorsqu'elle passe par le point $(h,k).$ La fonction est croissante sur l'intervalle $[h+\frac{1}{4}P+nP,\ h+\frac{3}{4}P+nP]$ ¹ Elle est décroissante sur l'intervalle $[h-\frac{1}{4}P+nP,\ h+\frac{1}{4}P+nP]$ ¹ $P$ est la période et $n \in \mathbb{Z}.$	Puisque $a$ et $b$ sont du même signe, la fonction est croissante lorsqu'elle passe par le point $(\pi,3).$ La fonction est croissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{3\pi}{4}+n\pi,\ \dfrac{5\pi}{4}+n\pi\right]$ où $n \in \mathbb{Z}$ La fonction est décroissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{5\pi}{4}+n\pi,\ \dfrac{7\pi}{4}+n\pi\right]$ où $n \in \mathbb{Z}$
Zéros de la fonction	Ce sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0.$ Si on trouve deux zéros dans la fonction, alors tous les autres zéros sont donnés par : $x=x_{1}+nP\quad \text{et}\quad x=x_{2}+nP$ où $P$ est la période et $n\in \mathbb{Z}$	$x=5{,}13+n\pi$ et $x=5{,}85+n\pi$ où $n\in \mathbb{Z}$
Ordonnée à l'origine	C'est la valeur de $f(0)$	$f(0)=3$
Signe de la fonction	Les intervalles où la fonction est positive et où la fonction est négative dépendent des zéros de la fonction, de la période et de l'allure du graphique.	La fonction est négative sur les intervalles de la forme $[5{,}13+n\pi,\ 5{,}85+n\pi]$ où $n\in\mathbb{Z}.$ La fonction est positive sur les intervalles de la forme $[5{,}85+n\pi,\ 8{,}28+n\pi]$ où $n\in\mathbb{Z}.$
Extrémums	Maximum : $k\ + \mid a\ \mid$ Minimum : $k\ - \mid a\ \mid$	Maximum : $7$ Minimum : $-1$

Détermine les propriétés de la fonction sinus suivante : $f(x)=-1{,}5\sin\left(2\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)+1$

Il peut être utile de tracer le graphique de la fonction .

L'équation de l'axe d'oscillation est $y=1.$
Le paramètre $b$ valant 2, la période de la fonction est $\displaystyle P = \frac{2\pi}{\mid b \mid} = \frac{2\pi}{\mid 2 \mid} = \pi.$
Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire $\mathbb{R}.$
L'image de la fonction est un intervalle de la forme $[k\ -\mid a \mid,\ k\ + \mid a \mid ].$
Ici, $a=-1{,}5$ et $k=1,$ donc l'image est l'intervalle $[-0{,}5;\ 2{,}5].$
La variation : comme les paramètres $a$ et $b$ sont de signes contraires, on en déduit que la courbe est décroissante lorsqu'elle passe par le point d'inflexion $(h,k)= \left(\dfrac{3\pi}{4}, 1\right).$
- La fonction est décroissante sur les intervalles de la forme $\left[h-\frac{1}{4}P+nP,\ h+\frac{1}{4}P+nP\right]$
  En remplaçant $h$ par $\dfrac{3\pi}{4}$ et $P$ par $\pi,$ on trouve l'intervalle suivant : $\left[\frac{\pi}{2} + n \pi,\ \pi +n \pi \right]$ où $n \in \mathbb{Z}$
- Elle est croissante sur les intervalles de la forme $\left[h+\frac{1}{4}P+nP,\ h+\frac{3}{4}P+nP \right]$
  En remplaçant $h$ par $\dfrac{3\pi}{4}$ et $P$ par $\pi,$ on trouve l'intervalle suivant : $\left[\pi + n \pi,\ \frac{3 \pi}{2}+n\pi \right]$ où $n \in \mathbb{Z}$
Les zéros de la fonction se calculent en remplaçant $f(x)$ par $0.$ $\begin{align}0 &= -1{,}5\sin\left(2\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)+1\\-1 &= -1{,}5 \sin\left(2\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)\\ \frac{-1}{-1{,}5} &= \frac{2}{3} = \sin\left(2\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)\end{align}$ Rendu ici, il faut aller voir dans le cercle trigonométrique à quels endroits le sinus vaut $\dfrac{2}{3}.$
La première valeur correspond à environ $0{,}73$ radian, car $\sin^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx 0{,}73.$
Pour la seconde valeur, on peut dessiner un cercle trigonométrique pour s'aider.

La seconde valeur correspond à l'angle entre l'axe des $x$ positifs et le segment rouge en pointillés. Pour calculer cette valeur, on fait $\pi - 0{,}73 \approx 2{,}41$ radians.

Le travail n'est pas fini puisque ces deux valeurs correspondent à la valeur de l'angle dans le sinus, c'est-à-dire que : $2\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)=0{,}73\text{ radian }\\ \text{et}\\ 2\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)=2{,}41\text{ radians}$ Il faut donc isoler $x$ dans les deux équations.

Dans le premier cas : $\begin{align}2\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)&=0{,}73\\x-\frac{3\pi}{4} &= 0{,}365\\x &= 0{,}365 + \frac{3\pi}{4}\\x_1 &\approx 2{,}72\end{align}$ Dans le second cas : $\begin{align}2\left(x-\frac{3\pi}{4}\right) &= 2{,}41\\x - \frac{3\pi}{4} &= 1{,}205\\x &= 1{,}205 + \frac{3\pi}{4}\\ x_2 &\approx 3{,}56\end{align}$ Ainsi, l'expression générale qui donne les zéros est : $\lbrace 2{,}72 + n \pi \rbrace \cup \lbrace 3{,}56 + n \pi \rbrace \text{ où } n \in \mathbb{Z}$

Pour calculer l'ordonnée à l'origine, on remplace $x$ par $0.$ $\begin{align}f(0) &= -1{,}5 \sin\left(2\left(0-\frac{3\pi}{4}\right)\right)+1\\ f(0) &= -1{,}5\sin\left(-\frac{6\pi}{4}\right)+1\\ f(0) &= -1{,}5\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)+1\\ f(0) &=-1{,}5 (1) + 1\\f(0) &= -0{,}5\end{align}$
Les signes de la fonction se trouvent avec les zéros. Il faut trois zéros consécutifs : $x_1\approx 2{,}72,$ $x_2\approx 3{,}56$ et $\begin{align}x_3 &= x_1+P \\ &= 2{,}72+\pi \\ &\approx 5{,}86\end{align}$
- La fonction est positive sur les intervalles de la forme $[3{,}56+n \pi,\ 5{,}86+n \pi]$ où $n \in \mathbb{Z}.$
- Elle est négative sur les intervalles de la forme $[2{,}72 + n \pi,\ 3{,}56 + n \pi]$ où $n \in \mathbb{Z}.$
Les extrémums de la fonction sont :
- Maximum : $k +{\mid}a{\mid} = 1 + 1{,}5=2{,}5$
- Minimum : $k - {\mid}a{\mid} = 1 - 1{,}5 = -0{,}5$

Important!

Les fonctions sinus et cosinus sont toutes les deux des fonctions sinusoïdales. Une même courbe peut donc être écrite avec le rapport cos ou avec le rapport sin. Dans ce cas, les deux règles partageront les mêmes paramètres $\mid a \mid ,$ $\mid b \mid$ et $k.$ Seul le paramètre $h$ sera différent. Plusieurs propriétés de la courbe sont donc obtenues de la même façon.

Pour comprendre l'analyse des paramètres et pour voir un exemple d'étude des propriétés d'une fonction sinusoïdale écrite avec le rapport cos plutôt qu'avec le rapport sin, consulte la fiche suivante : Les propriétés de la fonction cosinus

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