La médiane

La médiane (Méd) est la mesure de tendance centrale qui indique le centre de la série de données. Elle correspond donc à la valeur qui sépare une distribution ordonnée en $2$ groupes contenant le même nombre de données.

​​​​​$\text{Rang de la médiane}=\dfrac{n+1}{2}$
où
$n:$ nombre de données dans la distribution

Lorsqu’on emploie la formule, il y a 2 cas possibles.

• Si $n$ est un nombre impair, alors $\dfrac{n+1}{2}$ est un nombre entier. Dans ce cas, on peut déterminer directement la médiane à partir des données.

• Si $n$ est un nombre pair, alors $\dfrac{n+1}{2}$ est un nombre décimal. Dans ce cas, on détermine la médiane en calculant la moyenne des $2$ données centrales de la distribution.

Cette formule ne fournit pas directement la médiane, elle fournit son rang, c’est-à-dire la position de la médiane dans la distribution. Pour trouver la médiane, il faut donc que les données de la distribution soient placées en ordre croissant.

1. Placer les données de la distribution en ordre croissant.

2. Calculer le rang de la médiane.

3. Déterminer la médiane.

Voici le nombre de kilomètres parcourus chaque jour par Victor.

$192,$ $196,$ $134,$ $185,$ $201,$ $188,$​ $197$

Quelle est la médiane de cette distribution?

1. Placer les données de la distribution en ordre croissant
   On obtient ceci.

   $134,$ $185,$ $188,$ $192,$ $196,$ $197,$ $201$

2. Calculer le rang de la médiane
   On utilise la formule du rang de la médiane avec $n=7,$ puisqu’il y a $7$ données dans la distribution. $$\begin{align}\text{Rang de la médiane}&= \dfrac{7+1}{2}\\&= 4\end{align}$$ La médiane est donc la 4^e donnée de la distribution ordonnée.

3. Déterminer la médiane

   $134,$ $185,$ $188,$ $\boldsymbol{192},$ $196,$ $197,$ $201$

   La 4^e donnée de la distribution est $192,$ donc la médiane est $192.$ Autrement dit, on compte autant de jours pendant lesquels Victor a parcouru moins de $192\ \text{km}$ que de jours pendant lesquels il a parcouru plus de $192\ \text{km}.$

Voici le nombre de kilomètres parcourus chaque jour par Victor.

$192,$ $196,$ $134,$ $185,$ $201,$ $188,$​ $197,$ $199$

Quelle est la médiane de cette distribution?

1. Placer les données de la distribution en ordre croissant

   On obtient ceci.

   $134,$ $185,$ $188,$ $192,$ $196,$ $197,$ $199,$ $201$

2. Calculer le rang de la médiane
   On utilise la formule du rang de la médiane avec $n=8,$ puisqu’il y a $8$ données dans la distribution. $$\begin{align}\text{Rang de la médiane}&= \dfrac{8+1}{2}\\&= 4{,}5\end{align}$$ Comme le rang obtenu n’est pas un nombre entier, cela signifie qu’on doit calculer la moyenne des 4^e et 5^e données pour déterminer la médiane.

3. Déterminer la médiane

   $134,$ $185,$ $188,$ $\boldsymbol{192},$ $\boldsymbol{196},$ $197,$ $199,$ $201$

   On calcule la moyenne de $192$ et de $196,$ soit des 4^e et 5^e données. $$\begin{align}\text{Médiane}&=\dfrac{192+196}{2}\\&=194\end{align}$$ La médiane de la distribution est $194.$ Autrement dit, Victor a parcouru moins de $194\ \text{km}$ la moitié du temps et plus de $194\ \text{km}$ durant l’autre moitié.

1. Calculer le rang de la médiane.

2. Additionner les effectifs pour déterminer l’emplacement de la médiane.

3. Déterminer la médiane.

Quelle est la médiane de cette distribution de données condensées?

1. Calculer le rang de la médiane
   On utilise la formule du rang de la médiane avec $n=25,$ puisqu’il y a $25$ données dans la distribution. $$\begin{align}\text{Rang de la médiane}&= \dfrac{25+1}{2}\\&= 13\end{align}$$ La donnée médiane se trouve au 13^e rang dans la distribution.

2. Additionner les effectifs pour déterminer l’emplacement de la médiane

   Valeur	Effectif	Effectif cumulé
   $1$	$6$	$6$
   $2$	$12$	$\boldsymbol{18}$
   $3$	$5$	$23$
   $4$	$2$	$25$
   Total	$\boldsymbol{25}$

   Avec l'effectif cumulé, on peut déduire que les $6$ premières données de la distribution sont des $1,$ que les données de la 7^e à la 18^e position inclusivement sont des $2$ et ainsi de suite.

3. Déterminer la médiane
   On s’intéresse à la 13^e donnée, ce qui correspond à la valeur $2,$ puisque la 13^e donnée est située entre la 7^e et la 18^e position. Ainsi, la médiane de la distribution est $2.$

Quelle est la médiane de cette distribution de données condensées?

1. Calculer le rang de la médiane
   On utilise la formule du rang de la médiane avec $n=50,$ puisqu’il y a $50$ données dans la distribution. $$\begin{align}\text{Rang de la médiane}&= \dfrac{50+1}{2}\\&= 25{,}5\end{align}$$ Puisque le rang est un nombre décimal, la médiane correspond à la moyenne des 25^e et 26^e données.

2. Additionner les effectifs pour déterminer l’emplacement de la médiane

   Valeur	Effectif	Effectif cumulé
   $1$	$9$	$9$
   $2$	$16$	$\boldsymbol{25}$
   $3$	$19$	$\boldsymbol{44}$
   $4$	$6$	$50$
   Total	$\boldsymbol{50}$

3. Déterminer la médiane
   Selon la colonne des effectifs cumulés, on voit que la valeur $2$ est associée aux positions 10 à 25 inclusivement. Ainsi, la 25^e donnée vaut $2.$ On peut aussi associer la valeur $3$ aux positions 26 à 44 inclusivement. Ainsi, la 26^e donnée vaut $3.$ Finalement, on calcule la moyenne de ces 2 données. $$\begin{align}\text{Médiane}&=\dfrac{2+3}{2}\\&=2{,}5\end{align}$$ Donc, la médiane de cette distribution est $2{,}5.$

1. Calculer le rang de la médiane.

2. Additionner les effectifs pour déterminer l’emplacement de la médiane.

3. Déterminer la classe médiane.

Quelle est la classe médiane de la distribution de données groupées en classes suivante?

1. Calculer le rang de la médiane
   On utilise la formule du rang de la médiane avec $n=41,$ puisqu’il y a $41$ données dans la distribution. $$\begin{align}\text{Rang de la médiane}&= \dfrac{41+1}{2}\\&= 21\end{align}$$ La donnée médiane se trouve au 21^e rang dans la distribution.

2. Additionner les effectifs pour déterminer l’emplacement de la médiane

   Classe	Effectif	Effectif cumulé
   $[0,10[$	$7$	$7$
   $[10,20[$	$12$	$19$
   $[20,30[$	$8$	$\boldsymbol{27}$
   $[30,40[$	$14$	$41$
   Total	$\boldsymbol{41}$

   Selon la colonne de l'effectif cumulé, on déduit que la donnée qui est en 21^e position se situe entre les 20^e et 27^e​ positions.

3. Déterminer la classe médiane
   La classe médiane est donc l'intervalle $[20, 30[.$ 

   Pour estimer la médiane, on peut trouver la donnée centrale de cette classe. $$\begin{align}\text{Médiane}&\approx\dfrac{20 + 30}{2}\\&= 25\end{align}$$

Quelle est la classe médiane de la distribution de données groupées en classe suivante?

1. Calculer le rang de la médiane
   On utilise la formule du rang de la médiane avec $n=124,$ puisqu’il y a $124$ données dans la distribution. $$\begin{align}\text{Rang de la médiane}&= \dfrac{124+1}{2}\\&= 62{,}5\end{align}$$ Donc, la médiane correspond à la moyenne des 62^e et 63^e données.

2. Additionner les effectifs pour déterminer l’emplacement de la médiane

   Classe	Effectif	Effectif cumulé
   $[0,5[$	$32$	$32$
   $[5,10[$	$28$	$60$
   $[10,15[$	$41$	$\boldsymbol{101}$
   $[15,20[$	$23$	$124$
   Total	$\boldsymbol{124}$

   Selon la colonne d’effectif cumulé, la 62^e et la 63^e données sont situées dans le même intervalle.

3. Déterminer la classe médiane
   La classe médiane est $[10,15[.$

Il est difficile de tirer des conclusions à la suite de l'analyse d'une distribution seulement selon sa médiane. Toutefois, elle aide à apporter des nuances à l’analyse de la moyenne, puisque la médiane n’est pas influencée par les données aberrantes, contrairement à la moyenne.