Secondary V • 9mo.
Julien place un montant de 1000 § à un taux d'intérêt de 8 % compost annuellement. Un an
plus tard juliette place un montant de 1000 $ a un taux dintéret de 10 % composé anuellement. Au bout de combien d'années, après le début du placement de Julien, les montants accumules par julien et Juliette seront-ils les mêmes? (Arrondis la réponse au dixième près.)
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Salut!
Tout d'abord, tu dois trouver l'équation de la fonction exponentielle de Julien ainsi que celle de Juliette.
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Pour Juliette, on nous dit que le montant initial est de 1000$ et que le taux d'intérêt composé annuel est de 10%. Nous pouvons traduire cela en l'équation ci-dessous :
$$C_{n~Juliette}=1000(1+0,10)^n$$
$$C_{n~Juliette}=1000(1,1)^n$$
Pour Julien, on sait que le montant initial est de 1000$ et que le taux d'intérêt composé annuel est de 8 %. Nous avons alors l'équation suivante :
$$C_{n~Julien}=1000(1+0,08)^n$$
$$C_{n~Julien}=1000(1,08)^n$$
Cependant, puisque Juliette fait son placement un an après Julien, nous allons alors calculer le montant que possède Julien un an après le début de son placement afin que la variable n soit le nombre d'années écoulées depuis le placement de Juliette.
$$C_{n~Julien}=1000(1,08)^1$$
$$C_{n~Julien}=1000(1,08)$$
$$C_{n~Julien}=1080$$
Julien possède donc 1080$ au moment où Juliette fait son placement. Nous allons poser cela comme notre valeur initiale. L'équation de Julien devient alors :
$$C_{n~Julien}=1080(1,08)^n$$
Par exemple, si Julien a fait son placement en 2020 et Juliette en 2021, la variable n représente le nombre d'années écoulées depuis 2021. Puisque Julien possède 1080$ en 2021, alors ce montant sera notre valeur initiale.
Si nous n'avions pas changé le montant initial (si nous avions gardé le 1000$ comme montant initial), alors la variable n pour l'équation de Julien serait le nombre d'années écoulées depuis 2020 et la variable n pour l'équation de Juliette serait le nombre d'années écoulées depuis 2021, ce qui ne nous permet pas de faire les prochains calculs!
Ensuite, on veut trouver le nombre d'années écoulées lorsque le capital accumulé sera le même pour les deux amis. En d'autres mots, on cherche la valeur de la variable \(n\) lorsque \(C_{n~Julien}=C_{n~Juliette}\). Tu dois donc résoudre cette équation :
$$1080(1,08)^n=1000(1,1)^n$$
Voici le début de la résolution :
$$\frac{1080}{1000}(1,08)^n=(1,1)^n$$
$$1,08(1,08)^n=(1,1)^n$$
En appliquant les lois des exposants, nous avons :
$$(1,08)^{n+1}=(1,1)^n$$
Tu dois ensuite transformer la forme exponentielle en forme logarithmique.
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Je te laisse continuer. N'oublie pas d'additionner 1 à la valeur de n que tu auras trouvée, puisqu'on te demande de trouver le nombre d'années écoulées depuis le placement de Julien, alors que notre variable n représente le nombre d'années écoulées depuis le placement de Juliette!
Voici des fiches sur ces notions qui pourraient t'être utiles :
J'espère que c'est plus clair pour toi! :)