Tracer une fonction valeur absolue

1. Trouver les coordonnées du sommet

   Le point le plus important du graphique d’une fonction valeur absolue est sans aucun doute le sommet. Il est donc primordial de trouver les coordonnées de ce sommet pour débuter. Dans $f(x)=a{\mid}x-h{\mid}+k,$ les coordonnées du sommet sont $(h,k).$
    

2. Analyser le signe du paramètre $\boldsymbol{a}$

   Si $a$ est positif, alors le graphique de la valeur absolue sera ouvert vers le haut.
   Au contraire, si $a$ est négatif, le graphique de la valeur absolue sera ouvert vers le bas.
    

3. Calculer l’ordonnée à l’origine

   Sous la forme canonique, il nous suffit de remplacer $x$ par 0 dans l’équation et de trouver l’ordonnée à l’origine.
    

4. Calculer les zéros de la fonction

   On recherche les valeurs de $x$ lorsque $f(x)=0.$ Il se peut que la fonction n'ait pas de zéros.
    

5. Placer les points et tracer la fonction

Soit la fonction suivante : $f(x) = -3 {\mid}x + 4{\mid} +9$

1. Trouver les coordonnées du sommet  $$(h,k)=(-4, 9)$$

2. Analyser le signe du paramètre $\boldsymbol{a}$
   
   Le paramètre $a$ est négatif $(-3).$ Donc, la fonction sera tournée vers le bas.
    

3. Calculer l’ordonnée à l’origine  $$\begin{align} f(0) &=-3 {\mid}0 + 4{\mid} + 9 \\ &= -3 {\mid}4{\mid} + 9 \\ &= -3(4) + 9 \\ &= -12 + 9 \\ &= -3  \end{align}$$ Donc, l'ordonnée à l'origine est $(0,-3).$
    

4. Calculer les zéros de la fonction  $$\begin{align} 0 &= -3 {\mid}x + 4{\mid} + 9 \\ -9 &= -3 {\mid}x + 4{\mid} \\ 3 &= {\mid}x + 4{\mid} \end{align}$$
   
   Selon la définition de la valeur absolue, l'intérieur de ${\mid}x + 4{\mid}$ peut être positif ou négatif. $$\begin{align} 3 &= x + 4 &\text{et}\quad -3&=x+4 \\ -1 &= x & -7 &= x \end{align}$$
   Donc, les deux zéros sont $-1$ et $-7.$

Il n’est pas toujours nécessaire de calculer les zéros de la fonction valeur absolue. Parfois, c’est même impossible.

Dans ces 2 situations, il est inutile de faire la démarche pour calculer les zéros. On se contente donc de tracer la fonction avec 3 points, soit le sommet et un point sur chaque demi-droite.

Tracez la fonction d'équation $f(x)=2 {\mid}2x + 1{\mid} +1.$

1. Trouver les coordonnées du sommet
   
   Attention! L'équation n'est pas sous la forme canonique. Il faut donc effectuer quelques manipulations.
   
   $f(x) = 2 {\mid}2x+1{\mid} +1$ devient $\begin{align} f(x) = 2 \left\vert 2 \left(x+ \dfrac{1}{2}\right) \right\vert + 1 \end{align}.$
   
   Ainsi, le paramètre $a$ vaut 2, le paramètre $b$ vaut 2 et les coordonnées du sommet $(h,k)$ sont $\left( - \dfrac{1}{2}, 1 \right).$

2. Analyser le signe du paramètre $\boldsymbol{a}$
   
   Le paramètre $a$ étant positif (il vaut 2), la fonction est ouverte vers le haut.

3. Calculer l’ordonnée à l’origine
   
   Nous allons trouver l'ordonnée à l'origine en remplaçant $x$ par $0.$ $$\begin{align} f(0) &= 2 \left\vert 2 \left(0 + \dfrac{1}{2}\right) \right\vert + 1 \\ f(0) &=3\end{align}$$ On a donc le point $(0,3).$
   
   On peut utiliser l'axe de symétrie de la fonction. En effet, l'axe de symétrie est $x=h$ donc $x=- \dfrac{1}{2}.$ On a donc un autre point dont l'ordonnée est $3,$ mais avec une abscisse de $-1.$

4. Calculer les zéros de la fonction
   
   On remplace $f(x)$ par 0. $$\begin{align} 0 &= 2 \left\vert 2 \left(x + \dfrac{1}{2}\right) \right\vert + 1 \\ -1 &= 2 \left\vert 2 \left(x + \dfrac{1}{2}\right) \right\vert \\ -\dfrac{1}{2}&= \left\vert 2 \left(x + \dfrac{1}{2}\right) \right\vert \end{align}$$ On arrive donc à la conclusion qu'il n'y a pas de zéro puisqu'une valeur absolue ne peut pas être égale à un nombre négatif.