Les rapports de similitude, d'aires et de volumes (k, k², k³)

Les rapports de similitude, d’aires et de volumes ne sont valides que si l’on compare des longueurs, des aires ou des volumes homologues. Par exemple, il ne faut pas comparer la hauteur d’une pyramide avec l’apothème d’une autre pyramide, puisque la hauteur et l’apothème ne sont pas des segments homologues.

Le rapport de similitude $\boldsymbol{(k)}$ est un rapport entre des longueurs homologues (côtés, périmètres, rayons, circonférences, etc.) de 2 figures semblables.

$$​k=\dfrac{\text{Longueur quelconque dans la figure image}}{\text{Longueur homologue dans la figure initiale}}$$

Les rapports de similitude, d’aires et de volumes indiquent soit un agrandissement ou une réduction de la figure image par rapport à la figure initiale.

Trouve le rapport de similitude $(k)$ entre les trapèzes semblables suivants, sachant que le trapèze bleu est la figure image et que le trapèze vert est la figure initiale.

Trouve la hauteur du prisme bleu, sachant qu’il est semblable au prisme vert.

Le rapport des aires $\boldsymbol{(k^2)}$ est un rapport entre des surfaces homologues (aires de figures planes, bases de prismes, faces latérales de pyramides, etc.) de 2 figures semblables.

$$​k^2=\dfrac{\text{Aire quelconque dans la figure image}}{\text{Aire homologue dans la figure initiale}}$$

Trouve le rapport des aires $(k^2)$ entre les trapèzes semblables suivants, sachant que le trapèze bleu est la figure image et que le trapèze vert est la figure initiale.

Trouve l’aire latérale du prisme bleu, sachant qu’il est semblable au prisme vert.

Le rapport des volumes $\boldsymbol{(k^3)}$ est un rapport entre les volumes de 2 solides semblables.

$$​k^3=\dfrac{\text{Volume du solide image}}{\text{Volume du solide initial}}$$

Trouve le rapport des volumes $(k^3)$ entre les prismes à base trapézoïdale semblables suivants, sachant que le prisme bleu est le solide image et que le prisme vert est le solide initial.

Trouve le volume du prisme bleu, sachant qu’il est semblable au prisme vert dans un rapport $k^3=\dfrac{1}{27}.$

L’outil interactif suivant permet d’observer ce qui se produit avec les longueurs, les aires et le volume en changeant la valeur de $k.$

1. Combien de fois le segment vert entre-t-il dans le segment bleu?

2. Combien de fois le carré vert entre-t-il dans le carré bleu?

3. Combien de fois le cube vert entre-t-il dans le cube bleu?

1. Identifier le rapport qui permet de trouver la mesure manquante.

2. Calculer le rapport qui permet de trouver la mesure manquante à l’aide des relations entre les rapports.

3. Calculer la mesure manquante.

Trouve l’aire de la base du cône bleu, sachant qu’il est semblable au cône vert.

Trouve le volume du cylindre bleu, sachant qu’il est semblable au cylindre vert.

Trouve l’aire latérale de la pyramide bleue, sachant qu’elle est semblable à la pyramide verte.

Les 2 solides semblables suivants sont des polyèdres réguliers nommés octaèdres.

Trouve la mesure des arêtes et le volume de l’octaèdre orange et de l’octaèdre bleu pâle.

Dans l’exemple précédent, la valeur de $k^3$ utilisée pour calculer le volume de l’octaèdre orange indique qu’il s’agit d’un rapport de réduction $\left(0<\dfrac{27}{343}<1\right).$ Puisque l’octaèdre orange est plus gros que l’octaèdre bleu pâle, il aurait aussi été possible d’utiliser l'inverse de $\dfrac{27}{343}$ afin d’utiliser un rapport d’agrandissement. La démarche aurait alors été la suivante. $$\begin{align}\dfrac{1}{k^3}&=\dfrac{\color{#fa7921}{\text{Volume de l'octaèdre initial}}}{\color{#51b6c2}{\text{Volume de l'octaèdre image}}}\\\dfrac{343}{27}&=\dfrac{\color{#fa7921}V}{\color{#51b6c2}{161{,}7}}\\343\times161{,}7&=V\times27\\\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{343\times161{,}7}}{27}}&=\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{V\times27}}{27}}\\2\ 054{,}19\ \text{cm}^3&\approx V\end{align}$$