Les proportions

En mathématiques, une proportion est une relation d'égalité entre deux rapports ou deux taux.

Pour former une proportion, les deux rapports ou les deux taux doivent être équivalents.

Les rapports suivants sont en proportion: $$\displaystyle 3:4=15:20$$
En effet, les deux rapports sont équivalents. $$\begin{align}3\div 4&=0,75\\ 15\div20&=0,75\end{align}$$

Les taux suivants sont en proportion: $$\displaystyle \frac{300\ \text{habitants}}{5\ \text{km}^2}=\frac{600\ \text{habitants}}{10\ \text{km}^2}$$ En effet, les deux taux sont équivalents. $$\begin{align}300\div 5&=60\ \text{habitants/km}^2\\ 600\div 10&=60\ \text{habitants/km}^2\end{align}$$

Dans une proportion, on appelle les premier et quatrième termes les extrêmes. Les deuxième et troisième termes sont appelés les moyens. $$\displaystyle \frac{\text{Extrême}}{\text{Moyen}}=\frac{\text{Moyen}}{\text{Extrême}}$$ En d'autres mots, dans la proportion $$\color{blue}{a}:\color{green}{b}=\color{green}{c}:\color{blue}{d}\\ \text{ou}\\  \displaystyle \frac{\color{blue}{a}}{\color{green}{b}}=\frac{\color{green}{c}}{\color{blue}{d}}$$ les termes $\color{blue}{a}$ et $\color{blue}{d}$ sont les extrêmes et les termes $\color{green}{b}$ et $\color{green}{c}$ sont les moyens.

Soit la proportion suivante: $$\displaystyle \frac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}=\frac{\color{green}{4}}{\color{blue}{8}}$$ Les termes $\color{blue}{1}$ et $\color{blue}{8}$ sont les extrêmes.
Les termes $\color{green}{2}$ et $\color{green}{4}$ sont les moyens.

Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Si $\displaystyle \frac{\color{blue}{a}}{\color{green}{b}}=\frac{\color{green}{c}}{\color{blue}{d}}$,

alors $\color{blue}{a}\times \color{blue}{d}=\color{green}{b}\times \color{green}{c}$.

Soit la proportion suivante: $$\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{9}{12}$$ On remarque que le produit des extrêmes et égal au produit des moyens. $$\begin{align}3\times 12&=4\times 9\phantom{1}\\36&=36\end{align}$$

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel il faut multiplier le numérateur des taux ou des rapports d'une proportion pour obtenir le dénominateur.

Soit la proportion suivante: $$\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{7}{21}$$ Dans cette proportion, le coefficient de proportionnalité est $\color{red}{3}$.

Dans une proportion, le facteur de changement est le nombre par lequel il faut multiplier le numérateur (ou le dénominateur) d'un rapport ou d'un taux pour obtenir le numérateur (ou le dénominateur) de l'autre rapport ou taux.

Soit la proportion suivante: $$\displaystyle \frac{4}{5}=\frac{24}{30}$$

Dans cette proportion, le facteur de changement est $\color{red}{6}$.