Alloprof aide aux devoirs

Les méthodes pour trouver le PPCM et le PGCD simultanément

Pour sauver du temps, il est parfois utile de trouver le PPCM et le PGCD de 2 ou plusieurs nombres simultanément. Voici 2 méthodes permettant d'y arriver :

Méthode 1 : le tableau de diviseurs
Méthode 2 : l'arbre de facteurs et le diagramme

Méthode 1 : le tableau de diviseurs

Cette méthode consiste à diviser simultanément par des nombres premiers les nombres dont on cherche le PPCM et le PGCD. Cette méthode s'avère pratique lorsque l'on cherche le PPCM et le PGCD entre 2 grands nombres.

Règle

Tracer un tableau dont le titre de la 1^re colonne sera Diviseurs premiers. Les titres des autres colonnes seront les nombres étudiés.
Tenter de diviser les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Si un des nombres ne se divise pas par le diviseur premier utilisé, on inscrit un trait dans la case appropriée. On poursuit les divisions jusqu'à ce qu'on obtienne $1$ dans chaque colonne.
Calculer le PPCM en multipliant tous les diviseurs premiers de la 1^re colonne.
Calculer le PGCD en multipliant seulement les diviseurs premiers des lignes pleines (les lignes sans trait).

Calculer le PPCM et le PGCD de $40$ et $48.$

Tracer un tableau dont le titre de la 1^re colonne sera Diviseurs premiers. Les titres des autres colonnes seront les nombres étudiés.

Diviseurs premiers	$40$	$48$
...	...	...

Tenter de diviser les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Si un des nombres ne se divise pas par le diviseur premier utilisé, on inscrit un trait dans la case appropriée. On poursuit les divisions jusqu'à ce qu'on obtienne $1$ dans chaque colonne.

Diviseurs premiers	$40$	$48$
$\color{#3b87cd}{2}$	$20$	$24$
$\color{#3b87cd}{2}$	$10$	$12$
$\color{#3b87cd}{2}$	$5$	$6$
$\color{#3b87cd}{2}$	$-$	$3$
$\color{#3b87cd}{3}$	$-$	$1$
$\color{#3b87cd}{5}$	$1$	$-$

Calculer le PPCM en multipliant tous les diviseurs premiers de la 1^re colonne $\begin{align} PPCM(40,48)&=\color{#3b87cd}{2}\times\color{#3b87cd}{2}\times \color{#3b87cd}{2}\times\color{#3b87cd}{2}\times \color{#3b87cd}{3}\times \color{#3b87cd}{5}\\&=240\end{align}$
Calculer le PGCD en multipliant seulement les diviseurs premiers des lignes pleines (les lignes sans trait)

Diviseurs premiers	$40$	$48$
$\color{#3a9a38}{\boldsymbol{2}}$	$20$	$24$
$\color{#3a9a38}{\boldsymbol{2}}$	$10$	$12$
$\color{#3a9a38}{\boldsymbol{2}}$	$5$	$6$
$\color{#3b87cd}{2}$	$-$	$3$
$\color{#3b87cd}{3}$	$-$	$1$
$\color{#3b87cd}{5}$	$1$	$-$

$\begin{align} PGCD(40,48)&=\color{#3a9a38}{2}\times \color{#3a9a38}{2}\times \color{#3a9a38}{2}\\ &=8\end{align}$

Calculer le PPCM et le PGCD de $12,$ $54$ et $210.$

Tracer un tableau dont le titre de la 1^re colonne sera Diviseurs premiers. Les titres des autres colonnes seront les nombres étudiés.

Diviseurs premiers	$12$	$54$	$210$
...	...	...	...

Tenter de diviser les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Si un des nombres ne se divise pas par le diviseur premier utilisé, on inscrit un trait dans la case appropriée. On poursuit les divisions jusqu'à ce qu'on obtienne $1$ dans chaque colonne.

Diviseurs premiers	$12$	$54$	$210$
$\color{#3b87cd}{2}$	$6$	$27$	$105$
$\color{#3b87cd}{2}$	$3$	$-$	$-$
$\color{#3b87cd}{3}$	$1$	$9$	$35$
$\color{#3b87cd}{3}$	$-$	$3$	$-$
$\color{#3b87cd}{3}$	$-$	$1$	$-$
$\color{#3b87cd}{5}$	$-$	$-$	$7$
$\color{#3b87cd}{7}$	$-$	$-$	$1$

Calculer le PPCM en multipliant tous les diviseurs premiers de la 1^re colonne $\begin{align} PPCM(12,54,210)&=\color{#3b87cd}{2}\times\color{#3b87cd}{2}\times \color{#3b87cd}{3}\times\color{#3b87cd}{3}\times \color{#3b87cd}{3}\times \color{#3b87cd}{5}\times \color{#3b87cd}{7}\\&=3\ 780\end{align}$
Calculer le PGCD en multipliant seulement les diviseurs premiers des lignes pleines (les lignes sans trait)

Diviseurs premiers	$12$	$54$	$210$
$\color{#3a9a38}{\boldsymbol{2}}$	$6$	$27$	$105$
$\color{#3b87cd}{2}$	$3$	$-$	$-$
$\color{#3a9a38}{\boldsymbol{3}}$	$1$	$9$	$35$
$\color{#3b87cd}{3}$	$-$	$3$	$-$
$\color{#3b87cd}{3}$	$-$	$1$	$-$
$\color{#3b87cd}{5}$	$-$	$-$	$7$
$\color{#3b87cd}{7}$	$-$	$-$	$1$

$\begin{align} PGCD(12,54,210)&=\color{#3a9a38}{2}\times \color{#3a9a38}{3}\\ &=6\end{align}$

Méthode 2 : L'arbre des facteurs et le diagramme

Cette méthode consiste à construire l'arbre des facteurs pour chacun des nombres étudiés et à placer les facteurs premiers dans un diagramme de Venn afin de déterminer le PPCM et le PGCD. Cette méthode est très polyvalente.

Règle

Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers à l'aide de l'arbre de facteurs.
Tracer un diagramme de Venn comprenant un ensemble pour chaque nombre étudié et placer les facteurs premiers trouvés à l'étape 1 selon s'ils sont communs à tous les nombres, communs à certains nombres seulement ou uniques.
Calculer le PPCM en multipliant tous les facteurs premiers présents dans le diagramme de Venn.
Calculer le PGCD en multipliant seulement les facteurs premiers communs à tous les nombres.

Détermine le PPCM et le PGCD de $156$ et $182.$

Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers à l'aide de l'arbre de facteurs

Les arbres de facteurs premiers de 156 et 182.

On obtient ceci. $\begin{align}156&=2\times 2\times 3\times 13\\ 182&=2\times 7\times 13\end{align}$

Tracer un diagramme de Venn comprenant un ensemble pour chaque nombre étudié et placer les facteurs premiers trouvés à l'étape 1 selon s'ils sont communs à tous les nombres, communs à certains nombres seulement ou .

On a ceci. $\begin{align}156&=\color{#333fb1}{2}\times \color{#3a9a38}{2}\times \color{#3a9a38}{3}\times \color{#333fb1}{13}\\182&=\color{#333fb1}{2}\times \color{#3a9a38}{7}\times \color{#333fb1}{13}\end{align}$ On obtient le diagramme de Venn suivant.

Diagramme de Venn montrant les facteurs premiers de 156 et 182.

Calculer le PPCM en multipliant tous les facteurs premiers présents dans le diagramme de Venn $\begin{align}PPCM(156,182)&=\color{#3a9a38}{2}\times \color{#3a9a38}{3}\times \color{#333fb1}{2}\times \color{#333fb1}{13}\times \color{#3a9a38}{7}\\ &=1\ 092\end{align}$
Calculer le PGCD en multipliant seulement $\begin{align}PGCD(156,182)&=\color{#333fb1}{2}\times \color{#333fb1}{13}\\ &=26\end{align}$

Calcule le PPCM et le PGCD de $72,$ $90$ et $315.$

Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers à l'aide de l'arbre de facteurs

Les arbres de facteurs premiers de 72, 90 et 315.

On obtient ceci. $\begin{align}72&=2\times 2\times 2\times 3\times 3\\90&=2\times 3\times 3\times 5\\315&=3\times 3\times 5\times 7\end{align}$

Tracer un diagramme de Venn comprenant un ensemble pour chaque nombre étudié et placer les facteurs premiers trouvés à l'étape 1 selon s'ils sont communs à tous les nombres, communs à certains nombres seulement ou .

On a ceci. $\begin{align}72&=\color{purple}{2}\times \color{green}{2}\times \color{green}{2}\times \color{blue}{3}\times\color{blue}{3}\\90&=\color{purple}{2}\times\color{blue}{3}\times\color{blue}{3}\times \color{purple}{5}\\315&=\color{blue}{3}\times\color{blue}{3}\times \color{purple}{5}\times \color{green}{7}\end{align}$ On obtient le diagramme de Venn suivant.

Calculer le PPCM en multipliant tous les facteurs premiers présents dans le diagramme de Venn $\begin{align}PPCM(72,90,315)&=\color{#3a9a38}{2}\times \color{#3a9a38}{2}\times \color{#560fa5}{2}\times \color{#333fb1}{3}\times \color{#333fb1}{3}\times \color{#560fa5}{5}\times \color{#3a9a38}{7}\\ &=2\ 520\end{align}$
Calculer le PGCD en multipliant seulement $\begin{align}PGCD(72,90,315)&=\color{#333fb1}{3}\times \color{#333fb1}{3}\\ &=9\end{align}$

Dans cette page

Haut de page
Méthode 1 : le tableau de diviseurs
Méthode 2 : L'arbre des facteurs et le diagramme