Les formes d'équation d'une droite

La forme canonique (fonctionnelle) d’une droite est : $y=mx + b$, où $m$ est la pente de la droite et $b$ est son ordonnée à l’origine (valeur initiale).

Les droites ci-dessous sont exprimées sous la forme canonique (fonctionnelle).

• $y = 2x + 3$, où $m = 2$ et $b = 3$

• $y = -3x - 6$, où $m = -3$ et $b = -6$

• $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{4}$, où $m = \dfrac{1}{2}$ et $b = \dfrac{3}{4}$

La forme canonique (fonctionnelle) permet d'exprimer toutes les droites à l'exception des droites verticales de forme $x =\text{constante}.$ Dans cette forme, la pente $m$ n'est pas définie puisqu'il est impossible de diviser par $0,$ ce qui serait le cas dans le calcul de la pente d'une droite verticale.

La forme générale d’une droite est :

$Ax + By + C = 0$

où

$A$ et $B$ ne doivent pas être égaux à $0$ en même temps.
En général, $A,$ $B$ et $C$ sont des nombres entiers et $A$ est positif.

La forme générale de l'équation d'une droite permet d'exprimer tous les types de droites, qu'elles soient verticales, horizontales, croissantes ou décroissantes.

Les droites ci-dessous sont sous la forme générale.

• $2x - 3y + 7 = 0 \Rightarrow$ Droite croissante

• $x + 6y - 9 = 0\Rightarrow$ Droite décroissante

• $-3x + 4 = 0 \Rightarrow$ Droite verticale

• $6y - 3 = 0 \Rightarrow$ Droite horizontale

La droite ci-dessous est exprimée sous la forme générale, mais le coefficient de la variable $x$ n'est pas un entier et il n'est pas positif. $$\dfrac{-x}{2} + 3y - 7 = 0$$ Il est possible de multiplier tous les termes par $-2$ pour éliminer la fraction et le signe négatif du paramètre $A.$ $$-2\times \left(\dfrac{-x}{2} + 3y - 7 = 0 \right)$$ Cela donne l'équation suivante. $$x - 6y + 14 = 0$$

La forme symétrique d’une droite est :

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

où
$a$ est l’abscisse à l’origine (le zéro)
$b$ est l’ordonnée à l’origine (la valeur initiale)

Le $x$ et le $y$ doivent être les seuls éléments présents au numérateur de leur fraction respective.

Il est aussi important que $a\neq 0$ et que $b\neq 0$ puisqu’une division par $0$ est indéterminée.

La pente peut se calculer avec la formule : $m=\dfrac{-b}{a}.$

La droite ci-dessous est de la forme symétrique. $$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1$$

La droite ci-dessous n'est pas exprimée sous la forme symétrique. $$\dfrac{2x}{3}-\dfrac{7y}{4}=1$$

Cependant, il est possible de l'exprimer sous la forme symétrique en inversant les coefficients de $x$ et $y$ et en les plaçant au dénominateur. $$\dfrac{x}{\left(\dfrac{3}{2}\right)}+ \dfrac{y}{\left(\dfrac{-​4}{7}\right)}=1$$

La forme symétrique permet d'exprimer l'équation de la majorité des droites sauf pour 3 exceptions :

• On ne peut pas exprimer une droite verticale (il n'y aurait pas d'ordonnée à l'origine $b$).

• On ne peut pas exprimer une droite horizontale (il n'y aurait pas d'abscisse à l'origine $a$).

• On ne peut pas exprimer une droite passant par l'origine $(0,0)$ (il est impossible de diviser par $0$).

Pour passer à la forme générale à partir de la forme canonique (fonctionnelle) de l'équation $y = \dfrac{4}{5}x - 4,$ il faut rendre l'équation égale à $0$ et faire en sorte que les coefficients soient des nombres entiers.

1. On multiplie les 2 côtés de l'égalité par $5$ pour ne plus avoir de fractions, mais bien des coefficients entiers, et pour que le $A$ soit positif. $$\begin{align}5\,(y) &=5\left(\dfrac{4}{5}x-4 \right)\\5y &=4x-20 \end{align}$$

2. On déplace le $5y$ de l'autre côté du égal pour mettre le tout égal à zéro. $$0 = 4x-5y-20$$

Pour passer à la forme symétrique à partir de la forme générale $0 = 4x-5y-20,$ il faut transformer l'équation pour qu'elle soit égale à $1.$

1. On déplace le $20$ de l'autre côté de l'égalité. $$20 = 4x -5y$$

2. Il faut que l’égalité soit égale à $1.$ On divise donc tous les termes par $20$. $$\dfrac{20}{20} = \dfrac{4}{20}x - \dfrac{5}{20}y$$

3. Quand on simplifie, on obtient : $$1 =\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}$$

On apprend ainsi que l’abscisse à l’origine de la droite est $5$ et que son ordonnée à l’origine est $\text{-}4.$

Pour passer à la forme symétrique à partir de la forme canonique (fonctionnelle) $y = \dfrac{4}{5}x - 4,$ il faut placer les variables du même côté de l'égalité et faire en sorte que l'équation soit égale à $1.$

1. On déplace le $\dfrac{4}{5}x$ de l'autre côté de l'égalité. $$-\dfrac{4}{5}x+y = -4$$

2. Il faut que l’égalité soit égale à $1.$ On divise donc tous les termes par $\text{-}4.$ $$\dfrac{\frac{-4}{5}x}{-4} + \dfrac{y}{-4} = \dfrac{-4}{-4}$$

3. Quand on simplifie, on obtient : $$\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}=1$$

Pour passer à la forme générale à partir de la forme symétrique $\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}=1,$ il faut ramener tous les termes du même côté de l'égalité et faire en sorte qu'il n'y ait plus de fractions.

1. On déplace le $1$ de l'autre côté de l'égalité. $$\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}-1=0$$

2. On multiplie tous les termes par le $\text{PPCM}$ de $a$ et de $b:$ $\text{PPCM}(5,4)=20$ $$\begin{align}20\left(\dfrac{x}{5}\right) + 20 \left(-\dfrac{y}{4}\right)+20(-1)&=20(0)\\ 4x \phantom{)+20(}-5y\phantom{+20}-20\phantom{())}&=\phantom{()}0 \end{align}$$

Pour retrouver la forme canonique (fonctionnelle) à partir de la forme générale $0 = 4x-5y-20,$ il faut isoler la variable $y.$

1. On déplace le $4x$ et le $20$ de l'autre côté de l'égalité. $$-5y=-4x+20$$

2. On divise tous les termes par le coefficient de $y.$ $$\dfrac{-5y}{-5}=\dfrac{-4x}{-5}+\dfrac{20}{-5}$$

3. Quand on simplifie, on obtient : $$y=\dfrac{4}{5}x-4$$

Pour retrouver la forme canonique (fonctionnelle) à partir de la forme symétrique $\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}=1,$ il faut isoler la variable $y.$

1. On déplace le $\dfrac{x}{5}$ de l'autre côté de l'égalité. $$-\dfrac{y}{4}=-\dfrac{x}{5}+1$$

2. On multiplie par $-4$ (les 2 côtés de l'égalité) pour isoler $y.$ $$\begin{align}-4\left(- \dfrac{y}{4}\right)&=-4\left(-\dfrac{x}{5}+1\right)\\y\ \ \ \ &=\ \ \ \ \dfrac{4}{5}x\ \ -\ \ 4 \end{align}$$