La notation factorielle

Secondaire 4

La notation factorielle, notée $n!$ , est la façon d'écrire le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à un nombre $n$ , où $n$ est un nombre naturel.

Entre autres, cette notation allège les calculs et la démarche de résolution.

$n! = n\times (n-1)\times (n-2)\times \dots \times 3\times 2\times 1$

La notation factorielle permet de simplifier l'écriture de l'opération mathématique à effectuer. Plutôt que d'écrire le produit de tous les nombres entiers impliqués, il suffit d'écrire l'entier dont on veut calculer la factorielle suivi d'un point d'exclamation.

Exemple 1
$\begin{align} 3! &= 3 \times 2 \times 1 \\ &= 6 \end{align}$

Exemple 2
$\begin{align} 9! &= 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &= 362 \ 880 \end{align}$

Exemple 3
$\begin{align} 13! &= 13 \times 12 \times ... \times 3 \times 2 \times 1 \\ &= 6 \ 227 \ 020 \ 800 \end{align}$

Comme c'est le cas pour plusieurs opérations mathématiques, il existe un cas particulier avec le $0$ .

Attention!

Par convention, $0!=1$ .

En ce qui concerne son utilisation concrète, la notation factorielle est surtout utilisée en probabilité pour déterminer le nombre de permutations possibles des éléments d'un ensemble.

Question
Un tirage au sort permet de déterminer l'ordre dans lequel les $5$ numéros d'un spectacle seront présentés. Combien de possibilités y a-t-il?

Réponse
Cette situation comporte $5$ événements. Il y a donc $5$ choix possibles pour le premier numéro. Par la suite, cela signifie qu'il ne reste que $4$ choix possibles pour le deuxième numéro et ainsi de suite. Afin de déterminer le nombre de possibilités totales d'ordre de présentation des numéros, il suffit de tout multiplier. $\begin{align} \text{Nombre total de possibilités} &= 5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\ &= 5! \\ &= 120\end{align}$