La complétion du carré

Pour effectuer la complétion du carré, on suit les étapes suivantes :

1. Si nécessaire, on effectue une mise en évidence simple de $a$, afin que le coefficient du 1^er terme soit égal à $1.$

2. On crée un trinôme carré parfait en ajoutant, puis en soustrayant au trinôme la valeur $\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}.$

3. On factorise les 3 premiers termes avec la méthode du trinôme carré parfait, ce qui créera une différence de carrés.

4. On factorise la différence de carrés.

La complétion de carré fait intervenir d'autres techniques de factorisation :

• la mise en évidence simple
• le trinôme carré parfait
• la différence de carrés

Si le discriminant du trinôme sous la forme $ax^2+bx+c$ est négatif, alors ce dernier ne se factorise pas.

$$b^2-4ac<0 \Longrightarrow \text{Factorisation impossible}$$

Soit le trinôme $2x^2 - 4x - 16.$

1. On s’assure que le coefficient du premier terme est $1.$ Ce n'est pas le cas ici, il faut donc procéder à une mise en évidence simple de $2.$

$$\begin{align}2x^2-4x-16 &= \color{#333fb1}{2}\left( \dfrac{2x^2}{\color{#333fb1}{2}} - \dfrac{4x}{\color{#333fb1}{2}} - \dfrac{16}{\color{#333fb1}{2}}\right)\\ &=2\left(x^2-2x-8\right)\end{align}$$

2. On crée un trinôme carré parfait en ajoutant, puis en soustrayant la valeur suivante.

$$\left(\dfrac{b}{2}\right) ^2 = \left( \dfrac {-2}{2} \right)^2=(-1)^2=\color{#333fb1}{1}$$ On doit additionner $1$ et soustraire $1$, ce qui ne changera par l'expression algébrique de départ.

Il est important de faire ces ajouts juste avant le dernier terme, soit $-8$. $$2 (x^2 - 2x - 8) = 2 \left(x^2 - 2x +\color{#333fb1}{1}-\color{#333fb1}{1} - 8 \right)$$

3. On factorise les 3 premiers termes avec la méthode du trinôme carré parfait. 

$$\begin{align}2x^2-4x-16&=2(\!\!\!\overbrace{\color{#3a9a38}{x^2-2x+1}}^{\text{trinôme carré parfait}}\!\!\!-1-8)\\ &= 2\big( \color{#3a9a38}{(x-1)^2}-1-8\big) \\ &=2\big( (x-1)^2-9\big) \end{align}$$

4. On factorise la différence de carrés qui a été créée à l'étape 3.

$$\begin{align} 2x^2-4x-16 &=2\big(\!\underbrace{\color{#333fb1}{(x-1)^2-9}}_{\text{différence de carrés}}\!\big)\\ \boxed{ \begin{array}{c} \sqrt{(x-1)^2}=\color{#3a9a38}{(x-1)}\\ \ \ \sqrt{9}=\color{#fa7921}{3}\end{array}}\\&=2\big(\color{#3a9a38}{(x-1)}-\color{#fa7921}{3}\big)\big(\color{#3a9a38}{(x-1)}+\color{#fa7921}{3}\big)\\ &=2(x-4)(x+2)\end{align}$$

Réponse : Le trinôme $2x^2-4x-16,$ une fois factorisé par la complétion de carré, équivaut à $2(x-4)(x+2).$

Soit le trinôme $2x^2+13x+15.$

1. On s’assure que le coefficient du premier terme est $1.$ Ce n'est pas le cas ici, il faut donc procéder à une mise en évidence simple de $2.$

$$\begin{align}2x^2+13x+15 &= \color{#333fb1}{2}\left( \dfrac{2x^2}{\color{#333fb1}{2}} + \dfrac{13x}{\color{#333fb1}{2}} + \dfrac{15}{\color{#333fb1}{2}}\right)\\ &=2\left(x^2+\dfrac{13}{2}x+\dfrac{15}{2}\right)\end{align}$$

2. On crée un trinôme carré parfait en ajoutant, puis en soustrayant la valeur suivante.

$$\left( \dfrac{b}{2}\right)^{\!2} = \left( \dfrac {13/2}{2} \right)^{\!2}=\left(\dfrac{13}{4}\right)^{\!2}=\color{#333fb1}{\dfrac{169}{16}}$$ On doit additionner $\dfrac{169}{16}$ et soustraire $\dfrac{169}{16},$ ce qui ne changera par l'expression algébrique de départ. Il est important de faire ces ajouts juste avant le dernier terme, soit $\dfrac{15}{2}.$ $$2\left(x^2+\dfrac{13}{2}x+\dfrac{15}{2}\right)= 2 \left( x^2 +\dfrac{13}{2}x +\color{#333fb1}{\dfrac{169}{16}}-\color{#333fb1}{\dfrac{169}{16}} +\dfrac{15}{2} \right)$$

3. On factorise les 3 premiers termes avec la méthode du trinôme carré parfait.

$$\begin{align}2x^2+13x+15&=2\bigg(\overbrace{\color{#3a9a38}{x^2+\dfrac{13}{2}x+\dfrac{169}{16}}}^{\large\text{trinôme carré parfait}}+\dfrac{15}{2}-\dfrac{169}{16}\bigg)\\ &= 2\left(\!\! \color{#3a9a38}{\left(x+\dfrac{13}{4}\right)^{\!2}}+\dfrac{15}{2}-\dfrac{169}{16}\!\right) \\ &=2\left(\!\!\left(x+\dfrac{13}{4}\right)^{\!2}-\dfrac{49}{16}\!\right)\end{align}$$

4. On factorise la différence de carrés qui a été créée à l'étape 3.

$$\begin{align}2x^2+13x+15 &=2\bigg(\underbrace{\color{#333fb1}{\!\left(x+\dfrac{13}{4}\right)^{\!2}-\dfrac{49}{16}}}_{\large\text{différence de carrés}}\bigg)\\[-10pt] \boxed{\begin{array}{c}\sqrt{\left(x+\dfrac{13}{4}\right)^{\!2}}=\color{#3a9a38}{x+\dfrac{13}{4}}\\ \sqrt{\dfrac{49}{16}}=\color{#fa7921}{\dfrac{7}{4}}\end{array}}\\[-10pt] &=2\!\left(\color{#3a9a38}{x+\dfrac{13}{4}}+\color{#fa7921}{\dfrac{7}{4}}\right)\!\!\left(\color{#3a9a38}{x+\dfrac{13}{4}}-\color{#fa7921}{\dfrac{7}{4}}\right)\\ &=2\!\left(x+\dfrac{20}{4}\right)\!\!\left(x+\dfrac{6}{4}\right)\\&=2(x+5)\!\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\end{align}$$

Réponse : Le trinôme $2x^2+13x+15,$ une fois factorisé par la complétion de carré, équivaut à : $$2\left(x+5\right)\left(x+\dfrac{3}{2}\right)$$

Le binôme $x^2+bx$ peut être représenté par la figure suivante :

En effet, l'aire du carré orange dont le côté mesure $x$ est $x^2.$ Comme chaque rectangle bleu a une largeur de $\dfrac{b}{2}$ et une longueur de $x,$ leur aire est $\dfrac{b}{2}x.$ L'aire du carré orange et des 2 rectangles bleus est donc $x^2+\dfrac{b}{2}x+\dfrac{b}{2}x=x^2+2\left(\dfrac{b}{2}x\right)=x^2+bx.$

Visuellement, faire la complétion de carré consiste à déterminer l'aire du petit carré qui entre dans le coin supérieur droit et qui permet de compléter le grand carré.

Comme le côté de ce petit carré, délimité par une ligne pointillée rouge, est $\dfrac{b}{2},$ son aire est : $$\left(\dfrac{b}{2}\right)^2=\dfrac{b^2}{2^2}=\dfrac{b^2}{4}$$