La circonférence d'un cercle et l'aire d'un disque

​​​Un cercle est une courbe dont tous les points sont situés à égale distance d'un même point qu'on appelle le centre.

Il est à noter que, lorsqu'il est question de l'aire d'un cercle, nous devons alors utiliser le terme « disque » afin de qualifier le cercle.

La circonférence d'un cercle correspond à la mesure de son contour, donc de son périmètre.

$$\text{Circonférence}=\pi\ \times \text{diamètre}\quad \Rightarrow \quad C=\pi d$$ ou $$\text{Circonférence}=2\times \pi \times \text{rayon} \quad \Rightarrow \quad C=2\pi r$$

Le symbole $\pi$ se lit « pi » et correspond à une valeur d'environ 3,1416 arrondi au dix-millième près. Il s'agit d'un nombre irrationnel qui correspond au rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre : $\pi = \dfrac{C}{d}$

Il est à noter que peu importe les dimensions du cercle, le rapport entre sa circonférence et son diamètre demeure toujours le même $(\pi$ ou environ $3{,}1416).$ 

Quelle est la circonférence du cercle ci-dessous?

$$\begin{align} \text{Formule de la circonférence : }C&=2\pi r\\ &=2\pi (4)\\ &\approx 25{,}13 \text{ cm}\end{align}$$

Quelle est la circonférence du cercle ci-dessous?

$$\begin{align} \text{Formule de la circonférence : }C&=\pi d\\ &=\pi (8)\\ &\approx 25{,}13 \text{ cm} \end{align}$$

Nous pouvons également isoler le rayon à partir de la circonférence d'un cercle. Par exemple, si la circonférence du cercle ci-dessous est de 15,71 cm, quel est son rayon?

Dans ce cas, il s'agit d'utiliser la formule associée à la donnée recherchée (rayon) et de procéder à l'isolation de la variable.
$$\begin{align} \text{Circonférence}&=2\pi r\\ 15{,}71 &=2\pi r\\ \frac{15{,}71}{\color{red}{2}}&=\frac{\color{red}{2}\pi r}{\color{red}{2}}\\ 7{,}855 &=\pi r \\ \frac{7{,}855}{\color{green}{\pi}} &= \displaystyle\frac{\color{green}{\pi} r}{\color{green}{\pi}}\\ 2{,}5 &= r\end{align}$$
Le rayon de ce cercle est de 2,5 cm.

L'aire d'un disque correspond à la surface qu'il occupe.

$$Aire_{disque}=\pi\times rayon^{2} \quad \Rightarrow \quad A=\pi r^2$$

Quelle est l'aire d'un disque dont le rayon vaut 6 cm?

$$\begin{align} \text{Aire du disque : } A&=\pi r^2\\ &=\pi (6)^2\\ &=\pi (36)\\ &\approx 113{,}09 \text{ cm}^2\end{align}$$

Il est également possible d'isoler le rayon à partir de l'aire d'un disque. Par exemple, si un disque a une aire de 153,94 cm², quel est son rayon?

$$\begin{align} \text{Aire du disque}&=\pi r^2\\ 153{,}94 &=\pi r^2\\ \frac{153{,}94}{\color{green}{\pi}}&=\frac{\color{green}{\pi} r^2}{\color{green}{\pi}}\\ 49&=r^2\\ \color{red}{\sqrt{49}}&=\color{red}{\sqrt{r^2}}\\ 7&=r \end{align}$$ Le rayon de ce cercle est de 7 cm.

Il est possible de trouver l'aire d'un disque à partir de sa circonférence. D'abord, il est nécessaire de trouver le rayon. Par exemple, quelle est l'aire d'un cercle dont la circonférence est de 15,71 cm?

$$\begin{align} \text{Circonférence}&=2\pi r\\ 15{,}71 &=2\pi r\\ \frac{15{,}71}{\color{red}{2}}&=\frac{\color{red}{2}\pi r}{\color{red}{2}}\\ 7{,}855 &= \pi r\\ \frac{7{,}855}{\color{green}{\pi}} &= \frac{\color{green}{\pi} r}{\color{green}{\pi}}\\ 2{,}5 \text{ cm} &\approx r\\\\ \Rightarrow \text{Aire du disque}&=\pi r^2\\ &=\pi (2{,}5)^2\\ &=\pi (6{,}25)\\ &\approx 19{,}63\text{ cm}^2\end{align}$$