L'espérance mathématique

L'espérance mathématique est la somme des produits des valeurs d'une variable aléatoire par leur probabilité.

En d'autres mots, l'espérance mathématique correspond à une moyenne pondérée des résultats d'une expérience aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d'obtenir chacun des résultats.

Dans un calcul d'espérance mathématique, il est préférable de ne pas réduire les fractions, puisque cela facilite les additions de fractions.

Cynthia offre le pari suivant à Catherine.

« Pige une carte dans ce jeu de $52$ cartes. Si tu piges un as, je te donne $5\ \$.$ Si tu piges une figure, je te donne $2\ \$.$ Si tu piges une autre carte que celles mentionnées, tu me donnes $1{,}50\ \$.$ »

Est-ce que Catherine devrait accepter le pari proposé par Cynthia?

Pour répondre à cette question, Catherine doit calculer l’espérance mathématique du jeu. Si elle obtient un résultat négatif, elle ne devrait pas participer, puisqu’en moyenne, si elle joue à plusieurs reprises, elle perdra de l’argent. Au contraire, si l’espérance mathématique du jeu est positive, elle devrait accepter le pari, puisqu’en moyenne, elle gagnera de l’argent.

Le jeu de cartes contient $4$ as sur un total de $52$ cartes. La probabilité de piger un as est donc de $\dfrac{4}{52},$ soit $\dfrac{1}{13}.$ Cet évènement est associé à un gain de $5\ \$.$

Le jeu de cartes contient 12 figures ($4$ valets, $4$ dames et $4$ rois) sur un total de $52$ cartes. Cela correspond à une probabilité de $\dfrac{12}{52},$ soit $\dfrac{3}{13}.$ Cet évènement est associé à un gain de $2\ \$.$

Il y a $36$ autres cartes (ni un as, ni un roi, ni une dame, ni un valet) dans un jeu de cartes. Cela correspond à une probabilité de $\dfrac{36}{52},$ soit $\dfrac{9}{13}.$ Cet évènement est associé à une perte de $1{,}50\ \$.$

On obtient le tableau suivant.

On peut maintenant calculer l'espérance mathématique. $$\begin{align}E&= \dfrac{1}{13} \times 5 + \dfrac{3}{13} \times 2 + \dfrac{9}{13} \times -1{,}50\\&=\dfrac{5}{13}+\dfrac{6}{13}-\dfrac{13{,}5}{13}\\&=-\dfrac{2{,}5}{13}\\ &\approx -0{,}19\ \$ \end{align}$$

Réponse : L’espérance mathématique est négative. En moyenne, Catherine perdrait de l’argent si elle acceptait le pari de Cynthia. Ainsi, elle ne devrait pas l’accepter.

$E = P(x_1)x_1 + P(x_2)x_2 + \ldots P(x_n)x_n - M$
où
$x_n :$ le $n^e$ résultat
$P(x_n) :$ la probabilité du $n^e$ résultat
$M :$ la mise initiale

Un jeu consiste à faire tourner une roulette. La mise initiale à ce jeu est de $2\ \$.$

• Si la roulette s'arrête sur la partie rouge, le joueur remporte $4$ fois sa mise.

• Si la roulette s'arrête sur la partie orange, le joueur remporte $4$ fois sa mise.

• Si la roulette s'arrête sur la partie mauve, le joueur remporte $3$ fois sa mise.

• Si la roulette s'arrête sur la partie verte, le joueur remporte $5$ fois sa mise.

• Si la roulette s'arrête sur la partie bleue, le joueur ne gagne rien.

Ce jeu est-il équitable?

Il faut déterminer l'espérance mathématique du jeu.

• Section rouge : $4$ fois la mise $(4\times 2=8\ \$).$

• Section orange : $4$ fois la mise $(4\times 2=8\ \$).$

• Section mauve : $3$ fois la mise $(3\times 2=6\ \$).$

• Section verte : $5$ fois la mise $(5\times 2=10\ \$).$

• Section bleue : Le joueur ne gagne rien $(0\ \$).$

On obtient le tableau suivant.

On calcule l'espérance mathématique. $$\begin{align}E &= \dfrac{3}{24} \times 8 + \dfrac{3}{24} \times 8 + \dfrac{6}{24} \times 6 + \dfrac{2}{24} \times 10 + \dfrac{10}{24} \times 0 - \color{#ec0000}{2}\\&=\dfrac{24}{24}+\dfrac{24}{24}+\dfrac{36}{24}+\dfrac{20}{24}-\color{#ec0000}2\\&=\dfrac{104}{24}-\color{#ec0000}2\\ &\approx 4{,}33-\color{#ec0000}{2}\\ &\approx 2{,}33\ \$ \end{align}$$

Réponse : S'il jouait plusieurs parties, un joueur gagnerait en moyenne $2{,}33\ \$$ par partie. Puisque l’espérance est supérieure à $0,$ on conclut que le jeu est favorable au joueur. Le jeu n’est donc pas équitable.

$E = P(x_1)(x_1-M) + P(x_2)(x_2-M) + \ldots + P(x_n)(x_n-M)$
où
$x_n :$ le $n^e$ résultat
$P(x_n) :$ la probabilité du $n^e$ résultat
$M :$ la mise initiale

Le jeu consiste à faire tourner une roulette. La mise initiale est de $2\ \$.$

• Si la roulette s'arrête sur la partie rouge, le joueur remporte $4$ fois sa mise.

• Si la roulette s'arrête sur la partie orange, le joueur remporte $4$ fois sa mise.

• Si la roulette s'arrête sur la partie mauve, le joueur remporte $3$ fois sa mise.

• Si la roulette s'arrête sur la partie verte, le joueur remporte $5$ fois sa mise.

• Si la roulette s'arrête sur la partie bleue, le joueur ne gagne rien.

Ce jeu est-il équitable?

Pour effectuer le calcul, il est préférable de remplir un tableau où on indique pour chaque probabilité le résultat obtenu. Dans ce tableau, on soustrait la mise.

• Section rouge : $4$ fois la mise moins la mise $(4\times 2-2=6\ \$).$

• Section orange : $4$ fois la mise moins la mise $(4\times 2-2=6\ \$).$

• Section mauve : $3$ fois la mise moins la mise $(3\times 2-2=4\ \$).$

• Section verte : $5$ fois la mise moins la mise $(5\times 2-2=8\ \$).$

• Section bleue : Le joueur ne gagne rien et il perd sa mise $(0-2= -2\ \$).$

On calcule l'espérance mathématique. $$\begin{align} E &= \dfrac{3}{24} \times 6 + \dfrac{3}{24} \times 6 + \dfrac{6}{24} \times 4 + \dfrac{2}{24} \times 8 + \dfrac{10}{24} \times -2\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{18}{24}+\dfrac{24}{24}+\dfrac{16}{24}-\dfrac{20}{24}\\&=\dfrac{56}{24}\\&\approx 2{,}33\ \$ \end{align}$$

Réponse : Ce jeu n’est pas équitable. En effet, il est favorable au joueur, puisque l’espérance mathématique est supérieure à $0.$