L'écart type

Secondaire 4-5

Une mesure fréquemment utilisée pour étudier la dispersion des données d'une même distribution est l'écart type.

L’écart type, habituellement noté $s$ lorsqu’on étudie un échantillon et $\sigma$ lorsqu’on étudie une population, est une mesure de dispersion des données autour de la moyenne.

En d'autres mots, plus l'écart type est grand, plus les données sont éloignées de la moyenne. Inversement, plus l'écart type est petit, plus les données sont concentrées autour de la moyenne.

Le calcul de l’écart type comporte plusieurs étapes qui sont résumées par les formules suivantes.

Pour un échantillon

$s= \sqrt{\dfrac{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}}$ où

$\overline{x} :$ moyenne de l’échantillon
$n :$ taille de l’échantillon

Pour une population

$\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\mu)^2}{N}}$ où

$\mu :$ moyenne de la population
$N :$ taille de la population

$\sum$ signifie qu’il faut effectuer une somme successive de plusieurs éléments.
$x_i$ représente la $i^\text{e}$ valeur de l’échantillon.

En savoir plus

Dans la formule de l’écart type, ce qui se trouve sous la racine carrée se nomme la variance. Ainsi, on peut résumer le calcul de l'écart type à l’aide de l'égalité suivante. $\text{écart type} = \sqrt{\text{variance}}$ Autrement dit, la variance correspond à la moyenne du carré des écarts à la moyenne.

Voici les étapes à suivre pour utiliser adéquatement les formules précédentes.

Règle

Vérifier si la distribution est un échantillon ou une population.
Déterminer la taille de la distribution.
Calculer la moyenne de la distribution.
Calculer la somme du carré des écarts à la moyenne.
Calculer l’écart type.

Voici les températures (en degrés Celsius), placées en ordre croissant, enregistrées chaque heure durant une journée.

$-5,$ $-4,$ $-4,$ $-3,$ $-3,$ $-2,$ $-1,$ $0,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $3,$ $4,$ $4,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ $10,$ $10,$ $11,$ $11,$ $12$

Détermine l’écart type de cette distribution.

Vérifier si la distribution est un échantillon ou une population

Il s’agit d'un échantillon, puisqu'il y a eu des moments durant la journée où la température n'a pas été notée. Ainsi, on doit utiliser la formule avec $s,$ $n,$ et $\overline{x}.$

Déterminer la taille de la distribution

Puisqu'il y a $24$ heures dans une journée, cet échantillon contient $24$ données $(n=24).$

Calculer la moyenne de la distribution

On calcule la moyenne arithmétique de toutes les données. $\begin{align}\overline{x}&=\dfrac{\left(\begin{alignat}{40}&-5&&-4&&-4&&-\ 3&&-\ 3&&-\ 2&&-\ 1&&+\ 0\\&+0&&+1&&+2&&+\ 3&&+\ 3&&+\ 4&&+\ 4&&+\ 6\\&+7&&+8&&+9&&+10&&+10&&+11&&+11&&+12\ \ \end{alignat}\right)}{24}\\&\approx3{,}29\end{align}$

Calculer la somme du carré des écarts à la moyenne

On calcule les écarts à la moyenne de chaque donnée, puis on les élève au carré.

Donnée $x_i$	Écart à la moyenne $\vert x_i-\overline{x}\vert$	Écart à la moyenne au carré $\left(x_i-\overline{x}\right)^{2}$	Donnée $x_i$	Écart à la moyenne $\vert x_i-\overline{x}\vert$	Écart à la moyenne au carré $\left(x_i-\overline{x}\right)^{2}$
$-5$	$\vert-5- 3{,}29\vert=8{,}29$	$8{,}29^2\approx68{,}72$	$3$	$\vert3- 3{,}29\vert=0{,}29$	$0{,}29^2\approx0{,}08$
$-4$	$\vert-4- 3{,}29\vert=7{,}29$	$7{,}29^2\approx53{,}14$	$4$	$\vert4- 3{,}29\vert=0{,}71$	$0{,}71^2\approx0{,}50$
$-4$	$\vert-4- 3{,}29\vert=7{,}29$	$7{,}29^2\approx53{,}14$	$4$	$\vert4- 3{,}29\vert=0{,}71$	$0{,}71^2\approx0{,}50$
$-3$	$\vert-3- 3{,}29\vert=6{,}29$	$6{,}29^2\approx39{,}56$	$6$	$\vert6- 3{,}29\vert=2{,}71$	$2{,}71^2\approx7{,}34$
$-3$	$\vert-3- 3{,}29\vert=6{,}29$	$6{,}29^2\approx39{,}56$	$7$	$\vert7- 3{,}29\vert=3{,}71$	$3{,}71^2\approx13{,}76$
$-2$	$\vert-2- 3{,}29\vert=5{,}29$	$5{,}29^2\approx27{,}98$	$8$	$\vert8- 3{,}29\vert=4{,}71$	$4{,}71^2\approx22{,}18$
$-1$	$\vert-1- 3{,}29\vert=4{,}29$	$4{,}29^2\approx18{,}40$	$9$	$\vert9- 3{,}29\vert=5{,}71$	$5{,}71^2\approx32{,}60$
$0$	$\vert0- 3{,}29\vert=3{,}29$	$3{,}29^2\approx10{,}82$	$10$	$\vert10- 3{,}29\vert=6{,}71$	$6{,}71^2\approx45{,}02$
$0$	$\vert0- 3{,}29\vert=3{,}29$	$3{,}29^2\approx10{,}82$	$10$	$\vert10- 3{,}29\vert=6{,}71$	$6{,}71^2\approx45{,}02$
$1$	$\vert1- 3{,}29\vert=2{,}29$	$2{,}29^2\approx5{,}24$	$11$	$\vert11- 3{,}29\vert=7{,}71$	$7{,}71^2\approx59{,}44$
$2$	$\vert2- 3{,}29\vert=1{,}29$	$1{,}29^2\approx1{,}66$	$11$	$\vert11- 3{,}29\vert=7{,}71$	$7{,}71^2\approx59{,}44$
$3$	$\vert3- 3{,}29\vert=0{,}29$	$0{,}29^2\approx0{,}08$	$12$	$\vert12- 3{,}29\vert=8{,}71$	$8{,}71^2\approx75{,}86$

On fait ensuite la somme du carré des écarts à la moyenne. $\begin{alignat}{30}\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}&=&&\phantom{\,+\ }68{,}72&&+53{,}14&&+53{,}14&&+39{,}56&&+39{,}56&&+27{,}98\\&&&+18{,}40&&+10{,}82&&+10{,}82&&+5{,}24&&+1{,}66&&+0{,}08\\&&&+0{,}08&&+0{,}50&&+0{,}50&&+7{,}34&&+13{,}76&&+22{,}18\\&&&+32{,}60&&+45{,}02&&+45{,}02&&+59{,}44&&+59{,}44&&+75{,}86\\&=&&\phantom{\,+\ }690{,}86\end{alignat}$

Calculer l’écart type

On remplace $\boldsymbol{\color{#3b87cd}n}$ et $\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}}$ par leur valeur respective dans la formule de l’écart type d’un échantillon. $\begin{align}s&=\sqrt{\dfrac{\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}}}{\boldsymbol{\color{#3b87cd}{n}}-1}}\\&=\sqrt{\dfrac{\boldsymbol{\color{#3a9a38}{690{,}86}}}{\boldsymbol{\color{#3b87cd}{24}}-1}}\\&=\sqrt{\dfrac{690{,}86}{23}}\\&\approx\sqrt{30{,}04}\\&\approx5{,}48\end{align}$

Réponse : L’écart type de cette distribution est d’environ $5{,}48\ ^\circ \text{C}.$

Remarque : Dans cet exemple, la variance est de $30{,}04.$

La loi normale

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