L'approximation et l'arrondissement d'un nombre

Approximer consiste à trouver une valeur qui se rapproche le plus possible d’un nombre donné.

Estimer consiste à déterminer une valeur approximative d'une quantité inconnue.

Si on compte le nombre d'olives visibles dans ce bocal, on en compte environ $35.$ On peut donc estimer qu'il y en a le double dans tout le bocal, soit environ $70$ olives.

Arrondir consiste à donner une valeur qui se rapproche d’un nombre connu.

Un nombre arrondi est moins précis que le nombre connu, mais il est plus facile à réutiliser par la suite. On l’arrondit à une certaine position près (unité de mille, dizaine, centième, etc.). Pour y arriver, on repère d’abord le chiffre situé à la position à arrondir. Puis, on analyse le chiffre directement à sa droite.

• S’il s’agit d’un 0, d’un 1, d’un 2, d’un 3 ou d’un 4, le chiffre situé à la position à arrondir ne change pas.

• S’il s’agit d’un 5, d’un 6, d’un 7, d’un 8 ou d’un 9, on ajoute 1 au chiffre situé à la position à arrondir.

Tous les chiffres à la droite de la position choisie sont remplacés par $0.$

Arrondis $27\ 841$ à la centaine près.

On repère le chiffre situé à la position des centaines. $$27\ \boldsymbol{\color{#3b87cd}8}41$$

Le chiffre directement à sa droite est un $4.$ Comme c’est un chiffre inférieur à $5,$ on n’ajoute pas de centaine. On change ensuite les chiffres à la droite des centaines par des $\boldsymbol{\color{#3a9a38}{0}}.$ $$\begin{align}27\ &\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}}\underline{4}1\\ &\:\!\Big\downarrow \\27\ &\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}} \boldsymbol{\color{#3a9a38}{00}}\end{align}$$

Réponse : Le nombre $27\ 841$ arrondi à la centaine près est $27\ 800.$

Arrondis $299$ à la dizaine près.

On repère le chiffre situé à la position des dizaines. $$2\boldsymbol{\color{#3b87cd}9}9$$

Le chiffre directement à sa droite est un $9.$ Comme c’est un chiffre supérieur ou égal à $5,$ on ajoute une dizaine. Puisqu’on se retrouve avec $10$ dizaines, on ajoute une retenue à la position des centaines. On change ensuite le chiffre à la droite des dizaines par un $\boldsymbol{\color{#3a9a38}{0}}.$ $$\begin{align}\overset{\boldsymbol{\color{#fa7921}{\large1}}}{2}&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{9}}\underline{\boldsymbol9}\\&\Big\downarrow\small{+1}\\3&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{0}}\boldsymbol{\color{#3a9a38}{0}}\end{align}$$

Réponse : Le nombre $299$ arrondi à la dizaine près est $300.$

Remarque : Le nombre $299$ arrondi à la centaine près donne aussi $300.$

Lorsqu’on arrondit un nombre, on doit déterminer s’il est plus près d’une borne inférieure ou d’une borne supérieure. 

• On obtient la borne inférieure en tronquant le nombre à la position désirée.

• On obtient la borne supérieure à partir de la borne inférieure, en ajoutant $1$ à la position désirée. 

On choisit ensuite si on arrondit à la baisse ou à la hausse en fonction de la valeur du nombre.

• S'il est plus près de la borne inférieure, on arrondit à la baisse.

• S'il est plus près de la borne supérieure, on arrondit à la hausse.

Arrondis $17\ 683$ à l’unité de mille près.

On repère le chiffre situé à la position des unités de mille. $$1\boldsymbol{\color{#3b87cd}7}\ 683$$

Ensuite, on détermine les 2 bornes possibles pour l’arrondissement. Pour la 1^re, on tronque $17\ 683$ à l’unité de mille. Pour la 2^e, on ajoute une unité de mille à la borne inférieure. $$1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{7}}\ 683\begin{cases}\begin{gather}1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}}\ 000\\\text{ou}\\1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{7}}\ 000\end{gather}\end{cases}$$

Le chiffre directement à la droite des unités de mille est un $6.$ Comme c’est un chiffre supérieur ou égal à $5,$ on arrondit à la hausse. $$1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{7}}\ \underline{\boldsymbol6}83\begin{cases}\begin{gather}1\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}}\ 000 \\[3pt]\color{#ec0000}{\cancel{\color{black}{17\ 000}}}\end{gather}\end{cases}$$

Réponse : Le nombre $17\ 683$ arrondi à l’unité de mille près est $18\ 000.$

Arrondis $34{,}876$ au dixième près.

On repère le chiffre situé à la position des dixièmes. $$34{,}\boldsymbol{\color{#3b87cd}8}76$$

Le chiffre directement à sa droite est un $7.$ Comme c’est un chiffre supérieur ou égal à $5,$ on ajoute un dixième. Comme les chiffres à la droite des dixièmes sont situés après la virgule, on peut tout simplement les enlever au lieu de les remplacer par des $0.$ $$\begin{align}34{,}&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{8}}\underline{7}6\\ &\:\!\Big\downarrow \small{+1}\\34{,}&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{9}} \end{align}$$

Réponse : Le nombre $34{,}876$ arrondi au dixième près est $34{,}9.$

Arrondis $-457{,}9$ à la centaine près.

On repère le chiffre situé à la position des centaines. $$-\boldsymbol{\color{#3b87cd}4}57{,}9$$

Le chiffre directement à sa droite est un $5.$ Comme c’est un chiffre supérieur ou égal à $5,$ on ajoute une centaine. Attention! On ne tient pas compte du « − » pour ajouter la centaine. Il y a $4$ centaines et non $-4$ centaines. Ainsi, lorsqu’on en ajoute une, il y en a $5.$ On remplace ensuite le chiffre à la position des dizaines et celui à la position des unités par des $0$ et on enlève le chiffre situé après la virgule. $$\begin{align}-&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{4}}\underline{5}7{,}9\\ &\:\!\Big\downarrow\small{+1} \\-&\boldsymbol{\color{#3b87cd}{5}}\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\,0\,0}} \end{align}$$

Réponse : Le nombre $-457{,}9$ arrondi à la centaine près est $-500.$

Comme dans les exemples précédents, il arrive que l'arrondissement à donner soit clairement indiqué. Par contre, ce n’est pas toujours le cas. Parfois, il faut se fier au contexte du problème.

• Certains contextes commandent presque toujours le même arrondissement. Ce dernier n’est donc pas spécifié.
  Par exemple, les montants d'argent sont souvent arrondis au cent (¢) près, soit au centième de dollar $($).$ Ainsi, $58{,}988\ \$$ serait arrondi à $58{,}99\ \$.$
  
  Aussi, un nombre d'objets, d’animaux ou de personnes doit être arrondi à un nombre entier, puisqu’on ne peut pas avoir, par exemple, $26{,}8$ chaises dans une salle. On aurait plutôt $26$ ou $27$ chaises.

• Certains contextes nécessitent toujours un arrondissement à la hausse.
  Par exemple, si on calcule que, pour un évènement, on a besoin de $52{,}4$ bénévoles, il faudrait trouver $53$ bénévoles même si $52{,}4$ est plus près de $52$ parce que sinon, le travail ne sera pas complété à temps.

• Certains contextes nécessitent toujours un arrondissement à la baisse.
  Par exemple, c’est ce qu’on fait lorsqu’on utilise la partie entière.

• En fonction du contexte, l'arrondissement attendu peut changer.
  Par exemple, pour déterminer la population du Canada, on arrondit au million d’habitants près, soit environ $40$ millions. Toutefois, pour la population d’une petite municipalité, comme Senneterre, qui compte environ $2\ 200$ habitants, arrondir à la centaine près est plus approprié.

Tronquer (couper) consiste à donner une valeur qui se rapproche d’un nombre en éliminant les chiffres qui se trouvent après une position donnée, sans changer le chiffre à cette position.

Si on tronque le nombre $3{,}456\,723\,134$ à $3$ chiffres après la virgule, on obtient le nombre $3{,}456.$ Si on avait choisi d’arrondir ce même nombre au millième près, on aurait plutôt obtenu $3{,}457.$

Si on tronque le nombre $765$ à la position des centaines, on obtient $700.$ Si on avait plutôt décidé de l’arrondir à la centaine près, on aurait obtenu $800.$

Si on tronque le nombre $183{,}1$ à la position des unités, on obtient $183.$ Si on avait plutôt décidé de l’arrondir à l’unité près, on aurait aussi obtenu $183.$