L'aire des cônes

$$A_b = \pi r^2$$ où $$\begin{align}A_b&:\text{Aire de la base}\\r &: \text{rayon}\end{align}$$

Afin de s'assurer qu'un espace de stationnement soit bien éclairé, détermine la superficie couverte au sol par la lumière du lampadaire.

1. Identifier la face concernée
   Dans ce cas, comme pour tous les cônes circulaires droits, la base est un disque.

2. Appliquer la formule $$\begin{align} A_b &= \pi r^2\\ &= \pi \left(\dfrac{15}{2}\right)^2\\ &= 56{,}25\pi \\ &\approx 176{,}71 \ \text{m}^2\end{align}$$

3. Interpréter la réponse
   La surface éclairée par le lampadaire a une superficie d'environ $176{,}71 \ \text{m}^2.$

​Même si la formule peut paraitre simple à appliquer, il faut s'assurer d'avoir les bonnes mesures pour l'utiliser. Ici, le $15\ \text{m}$ fait référence au diamètre et non au rayon. Pour obtenir la mesure voulue, il faut diviser cette mesure par $2.$

$$A_L = \pi r a$$ où  $$\begin{align} A_L&:\text{Aire latérale}\\r &: \text{rayon de la base}\\ a &: \text{apothème du cône}\end{align}$$

Pour estimer la quantité de tissu à utiliser pour confectionner une robe, on peut avoir recours à la représentation du cône.

En sachant que cette robe est confectionnée avec de la soie et que ce matériau coute $12\ $ /\text{m}^2,$ combien devrait-on débourser pour acheter suffisamment de tissu?

1. Identifier le solide
   Cette robe de forme conique n'est pas fermée dans le bas. Il ne faut calculer que l’aire latérale de celle-ci.

2. Appliquer la formule $$\begin{align} A_L &= \pi r a\\ &= \pi (0{,}7) (1{,}35)\\ &= 0{,}945\pi \\ &\approx 2{,}97 \ \text{m}^2\end{align}$$

3. Interpréter la réponse
   Puisqu'il se vend $12$ / \text{m}^2,$ on utilise la multiplication : $$2{,}97\ \text{m}^2 \times 12\ $/\text{m}^2 = 35{,}64\ $$$ Ainsi, on pourrait obtenir le tissu à un prix de $35{,}64\ $.$

Il faut faire le développement d’un cône et identifier ses différents côtés remarquables.

On peut également exprimer la mesure de l'angle au centre selon l'arc de cercle qu'il définit. Par sa construction, cet arc de cercle correspond à la circonférence de la base, ce qui permet d’en déduire que :

En substituant l'expression algébrique associée à $\color{#3A9A38}{x},$ on obtient : $$\begin{align} \text{Aire du secteur}&= \dfrac{\pi \color{#EC0000}{a}^2 \color{#3A9A38}{x}}{360^\circ}\\\\ &= \dfrac{\pi \color{#EC0000}{a}^2 \left(\dfrac{360 \color{#51B6C2}{r}}{\color{#EC0000}{a}}\right)}{360}\\\\ &= \dfrac{360\pi \color{#51B6C2}{r} \color{#EC0000}{a}}{360}\\\\ &= \pi \color{#51B6C2}{r} \color{#EC0000}{a}\end{align}$$ Puisque l'aire du secteur est en fait l'aire latérale, alors : $$A_L = \pi \color{#51B6C2}{r} \color{#EC0000}{a}$$

$$A_T = A_L + A_b$$ où $$A_T:\text{Aire totale}$$

Au début de l’année 1973, le groupe de musique désormais légendaire du nom de Kiss a fait son entrée dans l’industrie du spectacle. Pour se distinguer, les membres du groupe ont pris la décision de s'habiller d'une façon assez particulière. Entre autres, un des membres a décidé d'intégrer des pointes de forme conique à son costume.

Pour les faire fabriquer, il a besoin de déterminer l'aire totale de chacune de ces pointes. Selon les mesures qui sont fournies, détermine cette aire totale.

1. Identifier les faces concernées
   Il est mentionné que ce sont toutes les faces du cône qui sont à considérer.

2. Calculer l'aire de la base $$\begin{align} A_b &= \pi r^2\\ &= \pi \left(\dfrac{6}{2}\right)^2\\ &= 9\pi \\  &\approx 28{,}27 \ \text{cm}^2\end{align}$$

3. Calculer l'aire latérale $$\begin{align} A_L &= \pi r a\\ &= \pi \left(\dfrac{6}{2}\right)(12{,}4)\\ &= 37{,}2\pi \\ &\approx 116{,}87 \ \text{cm}^2\end{align}$$

4. Calculer l'aire totale $$\begin{align} A_T &= A_L + A_b\\ &= 37{,}2\pi + 9\pi\\ &= 46{,}2\pi \\ &\approx 145{,}14 \ \text{cm}^2\end{align}$$

5. Interpréter la réponse
   L'aire totale d'une pointe de son costume est d'environ $145{,}14 \ \text{cm}^2.$

Dans le cas d'un cône droit​, on peut obtenir un triangle rectangle en traçant l’apothème du cône, la hauteur du cône et un rayon de la base.

Puisque c’est un cône droit, la hauteur intercepte perpendiculairement le centre de la base. Ainsi, la mesure de la cathète correspond au rayon de la base.

En associant la mesure d'une cathète à celle du rayon de la base, l'autre cathète à celle de la hauteur du cône et l'apothème, à celle de l'hypoténuse, on a assez d'informations pour utiliser le théorème de Pythagore : $$\begin{align} \color{#3A9A38}{a}^2 + \color{#EC0000}{b}^2&= \color{#51B6C2}{c}^2\\\\ \color{#3A9A38}{4}^2 + \color{#EC0000}{12}^2 &= \color{#51B6C2}{a}^2\\ 160 &= \color{#51B6C2}{a}^2 \\12{,}65 \ \text{cm} &\approx \color{#51B6C2}{a} \end{align}$$ ​​​ L’apothème du cône mesure environ $12{,}65\ \text{cm}.$

​​Lorsqu'on utilise plusieurs concepts simultanément, il faut faire attention de ne pas se perdre dans l'utilisation des variables. Sur le cône, $\color{#51B6C2}{a}$ fait référence à l'apothème, alors que dans le théorème de Pythagore, c'est la variable $\color{#51B6C2}{c}$ qui ​fait référence à ce segment. Pour bien comprendre le dernier exemple, l'utilisation des couleurs aide beaucoup à associer les nombres aux segments qu'ils représentent. ​