Les formules mathématiques

​ $$\dfrac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}\times100$$

$$\dfrac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}=\dfrac{\text{nombre recherché}}{100}$$

$$a+b=b+a$$

$$a\times b=b\times a$$

$$(a+b)+c=a+(b+c)$$

$$(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$$

$$a+0=0+a=a$$

$$a\times1=1\times a=a$$

$$a\times0=0\times a=0$$

$$a+-a=-a+a=0$$

$$a\times\dfrac{1}{a}=1$$

$$a\times(b\pm c)=a\times b\pm a\times c$$

Degré 0

$$y=b$$

Degré 1

$$y=x$$

Forme
fonctionnelle

Forme
symétrique

Forme
générale

$$y=ax+b$$ $a$ : taux de variation

$b$ : ordonnée à l'origine $$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$$ $a$ : abscisse à l'origine

$b$ : ordonnée à l'origine

$$Ax+By+C=0$$

$\Rightarrow$ symétrique $$\begin{align}a_s&=\dfrac{-b_f}{a_f}\\b_s&=b_f\end{align}$$

$\Rightarrow$ fonctionnelle $$\begin{align}a_f&=\dfrac{-b_s}{a_s}\\b_f&=b_s\end{align}$$

$\Rightarrow$ fonctionnelle $$\begin{align}a_f&=\dfrac{-A}{B}\\b_f&=\dfrac{-C}{B}\end{align}$$

$\Rightarrow$ générale

Dénominateur commun et mettre tout du même côté

$\Rightarrow$ générale

Dénominateur commun et mettre tout du même côté

$\Rightarrow$ symétrique $$\begin{align}a_s&=\dfrac{-C}{A}\\\\b_s&=\dfrac{-C}{B}\end{align}$$

Degré 2

$$y=x^2$$

​Forme
générale

Forme
canonique

​Forme
factorisée

$$y=ax^2+bx+c$$

$$\begin{align}y&=\text{a}\big(b(x-h)\big)^2+k\\y&=\text{a }b^2(x-h)^2+k\\y&=a(x-h)^2+k\end{align}$$

Deux zéros $$y=a(x-z_1)(x-z_2)$$ Un seul zéro $$y=a(x-z_1)^2$$

Nombre de zéros $$\sqrt{b^2-4ac}$$

Nombre de zéros $$\sqrt{\dfrac{-k}{a}}$$

Nombre de zéros

Directement accessible dans l'écriture de l'équation (voir la case au-dessus).

Fait à noter : s'il n'y a aucun zéro, il est impossible d'utiliser cette forme.

Valeur des zéros $$\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Valeur des zéros $$h\pm\sqrt{\dfrac{-k}{a}}$$

Valeur des zéros

$z_1$ et $z_2$

Valeur absolue

$$y=\vert x\vert$$

Forme canonique

$$\begin{align}y&=\text{a }\vert b(x-h)\vert+k\\y&=\text{a }\vert b\vert\times\vert x-h\vert+k\\y&=a\ \vert x-h\vert+k\end{align}$$

Racine carrée

$$y=\sqrt{x}$$

Forme canonique

$$\begin{align}y&=\text{a}\sqrt{b(x-h)}+k\\[3pt]y&=\text{a}\sqrt b\sqrt{\pm(x-h)}+k\\[3pt]y&=a\sqrt{\pm(x-h)}+k\end{align}$$

Exponentielle

$$f(x)=c^x$$

$$f(x)=a(c)^{b(x-h)}+k$$

$$\begin{align}a^0&=1\\[3pt]a^1&=a\\[3pt]a^{-m}&=\dfrac{1}{a^m}\\[3pt]a^{^{\frac{\large{m}}{\large{n}}}}&=\sqrt[\large{n}]{a^m}\\[3pt]a^m=a^n&\!\!\ \Leftrightarrow\ m=n\\[3pt]a^ma^n&=a^{m+n}\\[3pt]\dfrac{a^m}{a^n}&=a^{m-n}\\[3pt](ab)^m&=a^mb^m\\[3pt](a^m)^{^{\Large{n}}}&=a^{mn}\\[3pt]\left(\dfrac{a}{b}\right)^m&=\dfrac{a^m}{b^m}\\[3pt]\sqrt[\large{n}]{ab}&=\sqrt[\large{n}]{a}\ \sqrt[\large{n}]{b}\\[3pt]\sqrt[\large{n}]{\dfrac{a}{b}}&=\dfrac{\sqrt[\large{n}]{a}}{\sqrt[\large{n}]{b}}\end{align}$$

Logarithme

$$f(x)=\log_cx$$

$$f(x)=a\log_c(b(x-h))+k$$

$$\begin{align}\log_c1&=0\\[3pt]\log_cc&=1\\[3pt]c^{\log_{\large{c}}m}&=m\\[3pt]\log_cc^m&=m\\[3pt]\log_cm=\log_cn\ &\Leftrightarrow\ m=n\\[3pt]\log_c(mn)&=\log_cm+\log_cn\\[3pt]\log_c\left(\dfrac{m}{n}\right)&=\log_cm-\log_cn\\[3pt]\log_c(m^n)&=n\log_cm\\[3pt]\log_cm&=\dfrac{\log_sm}{\log_sc}\end{align}$$

L'une est la réciproque de l'autre $$x=c^y\ \Longleftrightarrow\ y=\log_cx$$

Sinus

$$f(x)=\sin x$$

$$f(x)=a\sin\big(b(x-h)\big)+k$$

$$\begin{align}\vert a\vert&=\dfrac{\max-\min}{2}\\[3pt]\vert b \vert&=\dfrac{2\pi}{\text{période}}\\[3pt]\text{Ima}f&=[k-a,k+a]\end{align}$$ Zéros : Une infinité de la forme $(x_1+nP)$ et $(x_2+nP)$ où $x_1$ et $x_2$ sont des zéros consécutifs, $n\in\mathbb{Z}$ et $P$ est la période.

Cosinus

$$f(x)=\cos x$$

$$f(x)=a\cos\big(b(x-h)\big)+k$$

Tangente

$$f(x)=\tan x$$

$$f(x)=a\tan\big(b(x-h)\big)+k$$

$$\vert b\vert=\dfrac{\pi}{\text{période}}\\[3pt]\text{Dom}\ f=\mathbb{R}\backslash\left\{\left(h+\dfrac{P}{2}\right)+nP\right\}$$ où $n\in\mathbb{Z}$ et $P$ est la période.

Zéros : Une infinité de la forme $x_1+nP$ où $x_1$ est un zéro, $n\in \mathbb{Z}$ et $P$ est la période.

Arc sinus

$$f(x)=\arcsin(x)$$ ou $$f(x)=\sin^{-1}(x)$$

$$f(x)=a\arcsin\big(b(x-h)\big)+k$$

Arc cosinus

$$f(x)=\arccos(x)$$ ou $$f(x)=\cos^{-1}(x)$$

$$f(x)=a\arccos\big(b(x-h)\big)+k$$

Arc tangente

$$f(x)=\arctan(x)$$ ou $$f(x)=\tan^{-1}(x)$$

$$f(x)=a\arctan\big(b(x-h)\big)+k$$

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

$$1+\tan^2\theta=sec^2\theta$$

$$1+\text{cotan}^2\theta=\text{cosec}^2\theta$$

$$\begin{align}\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\[3pt]\sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[3pt]\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\[3pt]\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[3pt]\tan(a+b)&=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\[3pt]\tan(a-b)&=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{align}$$

$$\begin{align}\sin2x&=2\sin x\cos x\\[3pt]\cos2x&=1-2\sin^2x\\[3pt]\tan2x&=\dfrac{2}{\text{cotan}x-\tan x}\\[3pt]\sin(-\theta)&=-\sin\theta\\[3pt]\cos(-\theta)&=\cos\theta\\[3pt]\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)&=\cos\theta\\[3pt]\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)&=-\sin\theta\end{align}$$

Triangle

La somme de tous les côtés

$A =\dfrac{b\times h}{2}$

$A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
où $p=\dfrac{a+b+c}{2}=$ demi-périmètre

$A=\dfrac{ab\sin C}{2}$
où $C=$ mesure de l'angle situé entre les côtés $a$ et $b$

Carré

$P=4 \times c$

$\begin{align} A &= c \times c\\ A &= c^2 \end{align}$

Rectangle

$\begin{align} P &= b+h+b+h\\ P &= 2(b+h) \end{align}$

$A=bh$

Losange

$P=4 \times c$

$A=\dfrac{D\times d}{2}$

Parallélogramme

La somme de tous les côtés

$A=bh$

Trapèze

La somme de tous les côtés

$A=\dfrac{(B+b)\times h}{2}$

Polygone régulier

$P=n \times c$

$A=\dfrac{can}{2}$

La somme des aires de tous les triangles composant le polygone

Polygones quelconque

La somme de tous les côtés

Décomposer le polygone en plusieurs polygones connus et additionner les aires de ces polygones.

Disque et cercle

$\begin{align} d &= 2r\\\\ r &= \frac{d}{2} \end{align}$

$$\begin{align} C &= \pi d\\\\ C &= 2 \pi r \end{align}$$

$A=\pi r^2$

Arc de cercle et secteur de disque

$\displaystyle \frac{\text{Angle au centre}}{360^o}=\frac{\text{Mesure d'arc}}{2\pi r}$

$\displaystyle \frac{\text{Angle au centre}}{360^o}=\frac{\text{Aire du secteur}}{\pi r^2}$

Les théorèmes en lien avec les rayons, les diamètres, les cordes et les arcs :

• Les rayons d’un cercle sont congrus.

• Le diamètre est la plus longue corde d’un cercle.

• Dans un même cercle ou dans deux cercles isométriques, deux cordes isométriques sont situées à la mêmes distance du centre et réciproquement.

• Tout diamètre perpendiculaire à une corde partage cette corde et chacun des arcs qu'elle sous-tend en deux parties isométriques.

• Dans un cercle, deux arcs sont congrus si et seulement si ils sont sous-tendus par des cordes congrues.

Les théorèmes en lien avec les angles :

• En reliant tout point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre, on forme un angle droit.

• Un angle inscrit a pour mesure la moitié de celle de l'arc compris entre ses côtés.

• L'angle dont le sommet est situé entre le cercle et son centre a pour mesure la demi-somme des mesures des arcs compris entre ses côtés prolongés.

• L'angle dont le sommet est situé à l'extérieur d'un cercle a pour mesure la demi-différence des mesures des arcs compris entre ses côtés.

Les théorèmes en lien avec les sécantes et les tangentes au cercle :

• Toute perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon est tangente au cercle et réciproquement.

• Deux parallèles, sécantes ou tangentes à un cercle, interceptent sur le cercle deux arcs isométriques.

• Si, d'un point $P$ extérieur à un cercle de centre $O,$ on mène deux tangentes aux points $A$ et $B$ du cercle, alors la droite $OP$ est la bissectrice de l'angle $APB$ et $\mathrm{m}\overline{PA}=\mathrm{m}\overline{PB}.$

• Si le prolongement de la corde $\overline{AB}$ croise le prolongement de la corde $\overline{CD}$ en un point $P$ situé à l’extérieur du cercle, alors le produit de $\mathrm{m}\overline{PA}$ et de $\mathrm{m}\overline{PB}$ est égal au produit de $\mathrm{m}\overline{PC}$ et de $\mathrm{m}\overline{PD}.$

• Si, d’un point $P$ extérieur à un cercle, on mène une droite tangente au cercle en $C$ et une autre droite croisant le cercle en $A$ et en $B$, alors le produit de $\mathrm{m}\overline{PA}$ et de $\mathrm{m}\overline{PB}$ est égal au carré de $\mathrm{m}\overline{PC}.$

• Lorsque deux cordes se coupent dans un cercle, le produit des mesures des segments de l'une égale le produit des mesures des segments de l'autre.

$$a=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \cos \theta$$ $$b=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \sin \theta$$

Soit le vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(x_1, y_1)$ et $B(x_2, y_2)$

Alors, les composantes sont : $$a=x_2-x_1\\b=y_2-y_1$$

Soit le vecteur $\overrightarrow{u}=(a,b)$

Alors, la norme est : $$\Vert\overrightarrow{v}\Vert=\sqrt{a^2+b^2}$$

Soit le vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(x_1, y_1)$ et $B(x_2, y_2)$

Alors, la norme est : $$\Vert\overrightarrow{AB}\Vert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

​ $\theta=\tan^{-1}\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)$

• Si​ $a>0,\ b>0\ \Rightarrow\ \theta$ est valide.

• Si​ $a<0,\ b>0\ \Rightarrow\ \theta+180^o.$

• Si​ $a<0,\ b<0\ \Rightarrow\ \theta+180^o.$

• Si​ $a>0,\ b<0\ \Rightarrow\ \theta+360^o.$

Soit $\overrightarrow{u}=(a,b)$ et $\overrightarrow{v}=(c,d)$

Alors, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(a+c,b+d)$

$\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert=\Vert \overrightarrow{u}\Vert+\Vert \overrightarrow{v}\Vert-2\Vert \overrightarrow{u}\Vert\ \Vert \overrightarrow{v}\Vert\ \cos\theta$

où $\theta =\ \Large{\mid} \normalsize 180^o - \mid \theta_\overrightarrow{u}-\theta_\overrightarrow{v}\mid \Large{\mid}$

Soit $\overrightarrow{u}=(a,b)$ et $\overrightarrow{v}=(c,d)$

Alors, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(a-c,b-d)$​

$\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert=\Vert \overrightarrow{u}\Vert+\Vert \overrightarrow{v}\Vert-2\Vert \overrightarrow{u}\Vert\ \Vert \overrightarrow{v}\Vert\ \cos\theta$

où $\theta=\mid \theta_\overrightarrow{u}-\theta_\overrightarrow{v}\mid$ si $\mid \theta_\overrightarrow{u}-\theta_\overrightarrow{v}\mid<180^o$
et $\theta = 180^o - \mid \theta_\overrightarrow{u}-\theta_\overrightarrow{v}\mid$ sinon

Soit $k$ un scalaire et $\overrightarrow{u}=(a,b)$

Alors, $k\overrightarrow{u}=(ka,kb)$
$$\begin{align}\Vert k \overrightarrow{u} \Vert &= k \times \Vert\overrightarrow{u}\Vert \\ \theta_{k \overrightarrow{u}} &= \theta_{\overrightarrow{u}} \end{align}$$

Si le produit scalaire est de $0$, alors les vecteurs sont perpendiculaires.

À l'aide des composantes

Soit $\overrightarrow{u}=(a,b)$ et $\overrightarrow{v}=(c,d)$

Alors, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=ac+bd$

À l'aide de la norme et de l'orientation

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert\overrightarrow{u}\Vert\times \Vert\overrightarrow{v}\Vert\times \cos\theta$

1) La somme de deux vecteurs est un vecteur.

2) Commutativité

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$

3) Associativité

$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$

4) Existence d'un élément neutre

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$

​5) Existence d'opposés

$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

1) Le produit d'un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur.

2) Associativité

$k_1(k_2\overrightarrow{u})=(k_1k_2)\overrightarrow{u}$

​3) Existence d'un élément neutre

$1\times \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\times 1=\overrightarrow{u}$

​4) Distributivité sur l'addition de vecteurs

$k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$

5) Distributivité sur l'addition de scalaires

$(k_1+k_2)\overrightarrow{u}=k_1\overrightarrow{u}+k_2\overrightarrow{v}$

1) Commutativité

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$

​2) Associativité des scalaires

$k_1\overrightarrow{u}\cdot k_2\overrightarrow{v}=k_1k_2(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})$

​3) Distributivité sur une somme vectorielle

$\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})+(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w})$

Accroissements

$$\begin{align}\Delta x&=x_2-x_1\\[3pt]\Delta y&=y_2-y_1\end{align}$$

​Distance entre deux points

$$d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

​Coordonnées du point de partage

Rapport partie
au tout

Rapport partie
à partie

$$\begin{align}x_p&=x_1+\dfrac{r}{s}(x_2-x_1)\\[3pt]y_p&=y_1+\dfrac{r}{s}(y_2-y_1)\end{align}$$

$$\begin{align}x_p&=x_1+\dfrac{r}{r+s}(x_2-x_1)\\[3pt]y_p&=y_1+\dfrac{r}{r+s}(y_2-y_1)\end{align}$$

Coordonnées du point milieu

$$(x_m,y_m)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Pente d'une droite

$$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Comparaison de deux droites d'équations $y=ax+b$

Parallèles
confondues

Parallèles
disjointes

Perpendiculaires

$$\begin{align}a_1&=a_2\\[3pt]b_1&=b_2\end{align}$$

$$\begin{align}​a_1&=a_2\\[3pt]b_1&\neq b_2\end{align}$$

$$a_1=-\dfrac{1}{a_2}$$

Cercle

Lieu géométrique de tous les points situés à égale distance du centre.

$$x^2+y^2=r^2$$ $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$

$r:$ rayon

$(h,k):$ Centre du cercle

Ellipse

Lieu géométrique de tous les points dont la somme des distances aux deux foyers est constante.

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$   $$\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1$$

$$\begin{align}a&=\dfrac{\text{Axe horizontale}}{2}\\b&=\dfrac{\text{Axe verticale}}{2}\end{align}$$ $(h,k):$ Centre de l'ellipse

Hyperbole

Lieu géométrique de tous les points dont la valeur absolue de la différence de la distance aux foyers est constante.

$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=\pm1$$ $$\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=\pm1$$

Asymptotes : $$\begin{align}y&=\dfrac{b}{a}(x-h)+k\\y&=-\dfrac{b}{a}(x-h)+k\end{align}$$ $(h,k):$ Centre de l'hyperbole

Parabole

Lieu géométrique de tous les points situés à égale distance de la directrice et du foyer

​ $$(x-h)^2=4c(y-k)$$ $$(y-k)^2=4c(x-h)$$

$$\vert c\vert :\dfrac{\text{Distance foyer-directrice}}{2}$$ $(h,k):$ Sommet de la parabole

Rang cinquième

$$R_5(x)\approx\left(\dfrac{\text{Nbre de données supérieures à } x+\dfrac{\text{Nbre de données égales à }x}{2}}{\text{Nbre total de données}}\right) \times 5$$ Si le résultat n'est pas un nombre entier, on arrondit à l'entier supérieur.

Rang centile

$$R_{100}(x)\approx\left(\dfrac{\text{Nbre de données inférieures à } x+\dfrac{\text{Nbre de données égales à }x}{2}}{\text{Nbre total de données}}\right) \times 100$$ Si le résultat n'est pas un nombre entier, on arrondit à l'entier supérieur, sauf si celui-ci est $99.$

$$r\approx\pm\left(1-\dfrac{l}{L}\right)$$ où $L$ représente la longueur et $l,$ la largeur du rectangle englobant le nuage de points.

Le signe de $r$ dépend du sens du nuage de points.