Les équations du MRUA

Certains éditeurs utilisent la variable $\triangle S$ pour représenter la variation de position. Cette variable est la même que la variable $\triangle x$ utilisée dans les formules écrites ci-dessus. Toutefois, l'utilisation de $\triangle x$ est privilégiée, car elle représente plus facilement un mouvement à l'horizontale, soit un mouvement suivant l'axe des abscisses.

De plus, la variable $\triangle y$ aurait pu être utilisée pour définir la variation de position dans un mouvement vertical d'un objet, soit un mouvement suivant l'axe des ordonnées.

La considération de deux mobiles

Une voiture initialement au point A se dirige vers la droite avec une vitesse constante de $\small \text {15 m/s}$. Partant du point B, une autre voiture, initialement au repos, se dirige vers la gauche avec une accélération de $\small \text {2,5 m/s}^2$.

Les points A et B sont séparés par une distance de $\small \text {250 m}$. Après combien de temps ces deux voitures se croiseront-elles ?
 

Dans ce type de problème, il faut d’abord établir notre système de référence. Il a été placé au point A, et il est orienté vers la droite. Ensuite, il faut savoir que les deux voitures se rencontreront au même point: il faut donc déterminer la position finale ($x_{f}$).

Considérons d'abord le véhicule A. Étant donné que la vitesse est constante, la vitesse initiale, la vitesse finale et la vitesse moyenne seront les mêmes.
$$v_{i} = v_{f} = v_{\text{moy}} = 15 \: \text {m/s} \\ \begin{align} &x_{i} = 0 \: \text {m}  &x_{f} &= ?   \end{align}$$
La relation de la vitesse en fonction du temps pour le véhicule A est décrite ci-dessous.
$$\begin{align} v_{\text{moy}} = \displaystyle \frac{\triangle x}{\triangle t} \quad \Rightarrow \quad v_{\text{moy}} &= \displaystyle \frac{x_{f} - x_{i}}{\triangle t} \\ 15 \: \text {m/s} &= \displaystyle \frac{x_{f} - 0 \: \text {m}}{\triangle t}\\ x_{f} &= 15 \: \text {m/s} \cdot \triangle t \end{align}$$
Considérons maintenant le véhicule B.
$$\begin{align}x_{i} &= 250 \: \text {m} &a &= -2,5 \: \text {m/s}^2\\ v_{i} &= 0 \: \text {m/s} \end{align}$$
On peut déterminer une relation pour la voiture B.
$$\begin{align} \triangle x = v_{i} \cdot \triangle t + \displaystyle \frac {1}{2} \cdot a \cdot \triangle t^2 \quad \Rightarrow \quad \triangle x &= 0 \: \text {m/s} \cdot \triangle t + \displaystyle \frac {1}{2} \cdot (-2,5 \: \text {m/s}^2) \cdot \triangle t^{2} \\ x_{f} - 250 \: \text {m} &= 0 -1,25 \cdot \triangle t^{2}\\ x_{f} &= -1,25 \cdot \triangle t^{2} + 250 \end{align}$$

Lorsque les deux véhicules se croiseront, ils auront nécessairement la même position finale et ils se croiseront en même temps.
Il sera donc possible de résoudre le problème en utilisant un système à deux équations avec deux inconnues avec la méthode de comparaison.
$$\begin {align} x_{f,A}&= x_{f,B} \\ 15 \cdot \triangle t &= -1,25 \cdot \triangle t^{2} + 250 \\ 0 &=-1,25 \cdot \triangle t^2 - 15 \cdot \triangle t + 250  \end{align}$$

Il est maintenant possible de déterminer les zéros de la fonction quadratique, ce qui permettra de déterminer le temps nécessaire avant que les voitures ne se rencontrent.
$$\begin {align} t_{1,2} = \displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad \Rightarrow \quad \displaystyle t_{1,2} &= \frac{-(-15)\pm\sqrt{(-15)^2-4(-1,25)(250)}}{2(-1,25)} \\ t_{1,2} &= \frac{15\pm\sqrt{225+1\:250}}{-2,50} \\ t_{1,2} &= \frac{15\pm\sqrt{1475}}{-2,50} \\ t_{1} &= \frac{15+ 38,41}{-2,50} = -21,4 \: \text {s} \\ t_{2} &= \frac{15- 38,41}{-2,50} = 9,4 \: \text {s} \end{align}$$
Seule la valeur positive est possible dans ce problème. Les deux véhicules se rencontreront donc après $9,4 \: \text {s}$.

Utiliser le système de référence adéquatement

Une voiture circulant à $\small 30 \: \text {m/s}$ freine à un taux de $\small -4 \: \text {m/s}^2$ sur une distance de $\small 35 \: \text {m}$. Quelle est sa vitesse finale ?

Il faut tout d'abord identifier les variables.
$$\begin{align}a &= -4 \: \text {m/s}^2 &v_{i} &= 30 \: \text {m/s}\\ \triangle x &= 35 \: \text {m} \end{align}$$
Pour résoudre le problème, il faut utiliser l'une des équations du MRUA.
$$\begin{align} {v_{f}}^2={v_{i}}^2+2 \cdot a \cdot \triangle x \quad \Rightarrow \quad {v_{f}}^2&={(30 \: \text {m/s})}^2+2 \cdot (- 4\: \text {m/s}^2) \cdot (35 \: \text {m}) \\ {v_{f}}^2&=900 - 280\\ {v_{f}}^2&=620 \\ {v_{f}} &= \pm \: 24,9 \: \text {m/s}\end{align}$$
De ces deux valeurs, seule la donnée positive est possible, puisque la valeur négative signifie que la voiture aurait non seulement cesser d'avancer, mais elle aurait également atteint une vitesse de $\small 24,9 \: \text {m/s}$ en direction opposée. Il faut être vigilant afin de choisir adéquatement la bonne valeur: le jugement doit se faire en fonction du contexte du problème.

La vitesse finale est donc $24,9 \: \text {m/s}$ dans le sens du mouvement initial.