La résolution de problèmes en mathématiques financières

1. Déterminer l'équation en lien avec la situation
2. Isoler la notation exponentielle
3. Transformer l'équation à l'aide de la définition de la notation logarithmique
4. Isoler la variable
5. Écrire la réponse à l'aide d'une phrase

Afin de s'assurer d'une retraite sans soucis financier, un prolifique homme d'affaire veut obtenir une valeur future de 500 000 $ à partir d'une valeur actuelle de 350 000 $. Ces temps-ci, les taux d'intérêts composés se chiffrent à 7,89 % par année, ce qui attire son attention.
Si la période d'intérêt est hebdomadaire, pendant combien de temps devrait-il placer son argent?
1. Déterminer l'équation en lien avec la situation
$$\begin{align} \color{red}{C_n} &= \color{blue}{C_0} \left(1 +\frac{\color{green}{i}}{\color{fuchsia}{k}}\right)^n \\\\ \color{red}{500 \ 000} &= \color{blue}{350 \ 000} \left(1 +\frac{\color{green}{0,0789}}{\color{fuchsia}{52}}\right)^n \\\\ \color{red}{500 \ 000} &\approx \color{blue}{350 \ 000} (1,0015)^n \\\\ \small\text{avec} \ n &= \ \small\text{nb de périodes d'intérêt en semaines (hebdomadaire)}\end{align}$$
2. Isoler la notation exponentielle
$$\begin{align} \frac{\color{red}{500 \ 000}}{350 \ 000} &\approx \frac{\color{blue}{350 \ 000}}{350 \ 000} (1,0015)^n && \small \text{opération inverse}\\\\ 1,4286 &\approx 1,0015^n \end{align}$$
3. Transformer l'équation à l'aide de la définition de la notation logarithmique
$$\begin{align} 1,4286 &\approx 1,0015^n \\\\ log_{1,0015} \ 1,4286 &\approx n && \small\text{déf. du log} \end{align}$$
4. Isoler la variable
$$\begin{align} log_{1,0015} \ 1,4286 &\approx n \\\\ \frac{log_{10} \ 1,4286}{log_{10} \ 1,0015} &\approx n && \small\text{loi du changement de base} \\\\ 237,97 &\approx n \end{align}$$
5. Écrire la réponse à l'aide d'une phrase

Il devra placer son argent pendant 238 semaines afin d'obtenir la valeur future visée.

Lorsque vient le temps de faire des placements à long terme dans les institutions financières, la durée de ces derniers sont généralement établies à la signature. Parmi les deux options suivantes,
Option 1) Placer un montant de 15 000 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 2,5 %;
Option 2) Placer un montant de 12 000 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 3,9 %.
Décris les circonstances qui favorisent chacun des choix.

1) Trouver l’équation pour chacun des placements
$$\begin{align} \color{blue}{\small \text{option 1}} &= \color{blue}{15 \ 000 \ (1+0,025)^n} \\ \color{blue}{\small \text{option 1}} &= \color{blue}{15 \ 000 \ (1,025)^n} \\\\ \color{red}{\small \text{option 2}} &= \color{red}{12 \ 000 \ (1+0,039)^n} \\ \color{red}{\small \text{option 2}} &= \color{red}{12 \ 000 \ (1,039)^n} \\ \small\text{avec} \ n \ & : \ \small\text{nb d’années du placement} \end{align}$$
2) Comparer les deux équations
$$\begin{align} \color{blue}{\small \text{option 1}} &= \color{red}{\small \text{option 2}} \\ \color{blue}{15 \ 000 \ (1,025)^n}&= \color{red}{12 \ 000 \ (1,039)^n} \end{align}$$
3) Résoudre
$$\begin{align} \frac{\color{blue}{15 \ 000}}{12 \ 000} \ \color{blue}{(1,025)^n}&= \frac{\color{red}{12 \ 000}}{12 \ 000} \ \color{red}{ (1,039)^n} && \small\text{opération inverse} \\\\ 1,25 \frac{\color{blue}{1,025^n}}{1,025^n} &= \frac{\color{red}{1,039^n}}{1,025^n} && \small\text{opération inverse} \\\\ 1,25 &= \left(\frac{1,039}{1,025}\right)^n && \small\text{propriété des exposants} \\\\ 1,25 &\approx 1,014 ^n && \small\text{calcul du quotient} \\\\ log_{1,014} \ 1,25 &\approx n && \small\text{déf. du log} \\\\ \frac{log_{10} \ 1,25}{log_{10} \ 1,014} &\approx n && \small\text{changement de base} \\\\ 16,05 &\approx n \end{align}$$
4) Écrire la réponse à l’aide d’une phrase

Les deux placements auront la même valeur après $16,05$ années. Avant $16,05$ ans, c’est l’option 1 qui est la plus intéressante puisque le montant actuel est plus élevé. Si le placement dure plus de $16,05$ ans, c’est l’option 2 qui est à privilégier.

Supposons qu’une maison est achetée pour $200 \ 000 \ \$$ et que l’acheteur accepte de financer ce prêt avec un taux d’intérêt de $2,89 \ \%$ composé quotidiennement. Selon ces conditions, il sait que ses paiements mensuels seront de $700 \ \$$.

1) Équation qui représente cette situation
$$\begin{align}C_n&=\color{blue}{C_0}\ \left(1+\frac{\color{green}{i}}{\color{fuchsia}{k}}\right)^n\\\\&=\color{blue}{200\ 000}\ \left(1+\frac{\color{green}{0,0289}}{\color{fuchsia}{365}}\right)^n\\\\&\approx\color{blue}{200\ 000}\ (1{,}000\ 079)^n\end{align}$$
2) Déterminer le montant du prêt après une période d’intérêt
$$\begin{align} C_n &= \color{blue}{200\ 000} \ (1{,}000\ 079)^n \\ &= \color{blue}{200 \ 000} \ (1{,}000\ 079)^{30} \\ &\approx 200\ 000 \times 1{,}002\ 372 \\ &\approx 200\ 474{,}54 \end{align}$$
3) Déterminer le nouveau montant du prêt après le premier versement
$$\begin{align}\text{nouveau montant}&=\text{prêt avec intérêt}&&-&&\text{paiement mensuel}\\&=200\ 474{,}54&&-&&700\\&=199\ 774{,}54\end{align}$$
4) Répéter la procédure pour le prochain mois
$$\begin{align}C_n&=199\ 774{,}54\ (1{,}000\ 079)^n\\&=199\ 774{,}54\ (1{,}000\ 079)^{30}\\&\approx200\ 248{,}54\end{align}$$
Ainsi, le montant du prêt qui reste à rembourser suite au deuxième versement $= 200 \ 248,54 – 700 = 199 \ 548,54 \ \$$

Voici un graphique qui permet de bien illustrer le tout :